¿Cuál es la prueba detallada de este problema?

Answer 1

Es cierto para cada función bilineal, no solo para productos de puntos. [math] f (v, w) [/ math] se dice que es bilineal si es lineal tanto en v como en w. En otras palabras, [matemáticas] f (v, w) [/ matemáticas] no necesita ser escalar. Sentido:

[matemáticas] \ begin {align} f (v_1 + v_2, w) & = f (v_1, w) + f (v_2, w) \\ f (\ lambda v, w) & = \ lambda f (v, w ) \\ f (v, w_1 + w_2) & = f (v, w_1) + f (v, w_2) \\ f (v, \ lambda w) & = \ lambda f (v, w) \ end {align }[/matemáticas]

Primero observe: [matemáticas] f (v, 0) = f (0, w) = \ vec {0} [/ matemáticas]

Puede ampliar las funciones bilineales:

[matemáticas] f (v + \ Delta v, w + \ Delta w) = f (v, w) + f (\ Delta v, w) + f (v, \ Delta w) + f (\ Delta v, \ Delta w) [/ matemáticas]

Aplicar definición de derivada:

[matemáticas] \ begin {align} \ frac {df} {dt} & = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {f (v + \ Delta v, w + \ Delta w) – f (v, w )} {\ Delta t} \\ & = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {f (\ Delta v, w) + f (v, \ Delta w) + f (\ Delta v, \ Delta w)} {\ Delta t} \\ & = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} f (\ frac {\ Delta v} {\ Delta t}, w) + f (v, \ frac {\ Delta w } {\ Delta t}) + {f (\ frac {\ Delta v} {\ Delta t}, \ Delta w)} \\ & = f (\ frac {dv} {dt}, w) + f (v , \ frac {dw} {dt}) + \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {f (\ frac {dv} {dt}, \ Delta w)} \\ & = f (\ frac {dv} { dt}, w) + f (v, \ frac {dw} {dt}) + {f (\ frac {dv} {dt}, 0)} \\ & = f (\ frac {dv} {dt}, w) + f (v, \ frac {dw} {dt}) \ end {align} [/ math]

En particular has:

[matemáticas] \ begin {align} \ frac {d (v, w)} {dt} = (\ frac {dv} {dt}, w) + (v, \ frac {dw} {dt}) \ end { alinear} [/ math]

Answer 2

¡La prueba es bastante sencilla cuando se usa la regla del producto y se expanden los productos internos en cuanto a componentes! Recuerde que la suma y la diferenciación son intercambiables en este caso, ya que ambos son diferenciables.