¿Cómo se puede resolver la desigualdad [matemáticas] | \ sin x | \ geq \ frac {1} {2} [/ math]?

Answer 1

Entonces, mi respuesta a la pregunta tal como se indica sería “Falso – [matemáticas] sin 0 = 0 \ nleq \ frac {1} {2} [/ matemáticas]”.

Sin embargo, eso parece demasiado simple, por lo que supongo que esto significa más “¿cuándo es verdadera esta desigualdad”?

Así que obtuve la siguiente imagen de Math is Fun – Ayuda con la tarea:

Como lo indica la figura, el segundo número entre paréntesis es pecado. Dado que la pregunta es sobre el valor absoluto de sen x, eso significa que podemos ignorar efectivamente los signos negativos en sin debajo del eje x. Entonces, en este gráfico, la desigualdad es verdadera cuando x está entre [matemática] \ frac {\ pi} {6} [/ matemática] y [matemática] \ frac {5 \ pi} {6} [/ matemática] y cuando está entre [matemática] \ frac {7 \ pi} {6} [/ matemática] y [matemática] \ frac {11 \ pi} {6} [/ matemática].

Por supuesto, el pecado es una de esas funciones que se realiza cíclicamente para siempre, por lo que si bien la función es verdadera para esos valores, también lo son para muchos otros valores. Por lo tanto, podemos escribirlo como x [matemáticas] \ en [/ matemáticas] [[matemáticas] \ frac {1} {6} * n \ pi [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {5} {6} * n \ pi [/ math]], [math] \ forall n \ in \ Z [/ math].

Answer 2

gráfica de | sin x | <= 1/2.

Siempre es mejor dibujar un gráfico para resolver problemas trigonométricos. En el gráfico anterior, la parte verde con una pequeña mezcla de naranja es la parte de solución para el problema dado.
Primero tratemos de resolver el problema para el intervalo [0, pi].
Dado que sen x no es negativo en este intervalo, podemos escribirlo como:
sen x = 1/2
sen x = sin pi / 6
x = pi / 6, pi – pi / 6 (ya que sin x = sin (pi – x) para 0 <= x <= pi)
entonces, x pertenece a [pi / 6, 5 * pi / 6].
Podemos ver en el gráfico que el siguiente intervalo de solución es [7 pi / 6, 11 pi / 6]
y así .

Lo importante aquí para notar es que las soluciones posteriores que tienen la misma altura en el gráfico difieren en pi.

Entonces, podemos escribir la solución en una forma más general como:
x pertenece a [pi / 6 + m * pi, 5 pi / 6 + m * pi].

Perdón por mi terrible dibujo 🙂

Answer 3

Eso es básicamente equivalente a sinx <= - 1/2 o sinx> = 1/2. Ambas condiciones satisfacen lo anterior, y lo anterior satisface estas condiciones. Ahora puede resolver estas ecuaciones separadas de forma independiente y obtener su respuesta general.

Answer 4

La respuesta de Saurabh Anand a ¿Cómo se puede resolver la desigualdad [matemáticas] | \ sin x | \ geq \ frac {1} {2} [/ math]?

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Answer 5

Colocar un valor absoluto en una función trigonométrica como seno hará que algunas soluciones sean simétricas (como si x es una solución, entonces -x [o 2π-x] también es una solución); por lo tanto solo necesitamos expresar las soluciones en el intervalo [0, π)

En este intervalo, la función seno es positiva, por lo que podemos dejar caer el módulo. Entonces, obtenemos que senx = 1/2 cuando x es π / 6; La solución espejo es 5π / 6. Entre estos, tienes que la inecuación es verdadera; así, la solución parcial es el intervalo [π / 6, 5π / 6].

Ahora, π / 6 corresponde a 11π / 6, mientras que 5π / 6 corresponde a 7π / 6. Esto significa que el intervalo [7π / 6, 11π / 6] también es una solución; éste tiene sus extremos exactamente a π del intervalo anterior; Estas son las únicas soluciones en [0,2π).

Ahora podemos agregar 2kπ, pero debido a esa simetría con π podemos usar kπ como intervalos.

Por lo tanto, la solución es realmente la unión de todos los intervalos de la forma [π / 6 + kπ, 5π / 6 + kπ], para k entero.