El enésimo término de una serie es 2 ^ (n-2) + 3n. ¿Cuál es la suma de los primeros N términos?

Answer 1

\ begin {align}
\ sum_ {n = 1} ^ N2 ^ {n-2} + 3n & = \ sum_ {n = 1} ^ N2 ^ {n-2} + \ sum_ {n = 1} ^ N3n
\\ & = \ frac12 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} 2 ^ n + 3 \ sum_ {n = 1} ^ Nn
\ end {alinear}

Deje [math] s_k = \ sum_ {i = 0} ^ {k-1} a ^ i [/ math], luego [math] as_k = \ sum_ {i = 0} ^ {k-1} a ^ {i +1} = \ sum_ {i = 1} ^ ka ^ i [/ math]. Por lo tanto, [math] as_k-s_k = (a-1) s_k = a ^ ka ^ 0 = a ^ k-1 [/ math]. Lo que significa [matemáticas] s_k = \ dfrac {a ^ k-1} {a-1} [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} = \ frac {2 ^ N-1} {2-1} = 2 ^ N-1 [/ matemáticas].

En el otro lado [matemática] \ sum_ {k = 1} ^ nk = \ frac {n (n + 1)} 2 [/ matemática].

Entonces:
\ begin {align}
\ sum_ {n = 1} ^ N2 ^ {n-2} + 3n
& = \ frac12 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} 2 ^ n + 3 \ sum_ {n = 1} ^ Nn
\\ & = \ frac12 (2 ^ N-1) + \ frac32N (N + 1)
\\ & = \ frac {2 ^ N + 3N ^ 2 + 3N-1} 2
\ end {alinear}

Answer 2

Los detalles dependen de si comienza a contar n en 0 o 1 (o algún otro número), pero básicamente puede reescribir esto como

[matemáticas] \ displaystyle \ frac 14 \ sum_n 2 ^ n + 3 \ sum_n n. [/ matemáticas]

Ambas son fórmulas bien conocidas.

Answer 3

Suma de los primeros n términos
= 2 ^ (- 1) + 3 + 2 ^ (0) + 6 + 2 ^ (1) + 9 + ………. + 2 ^ (n-2) + 3n
= (0.5 + 1 + 2 + 4 +… .. + 2 ^ (n-2)) + 3 (1 + 2 + 3 + …… + n)
= (0.5) {(2 ^ n) -1} / (2-1) +. {3 (n) (n + 1) / 2}
= (2 ^ n + 3n ^ 2 + 3n – 1) / 2

Answer 4

Divide esto en una suma de progresiones aritméticas y geométricas:

[matemáticas] \ frac {1} {4} \ sum \ limites_ {1} ^ N 2 ^ n [/ matemáticas]

Sumas de series geométricas como [math] a_o \ frac {1-r ^ n} {1-r} [/ math]

[matemáticas] 3 \ suma \ límites_ {1} ^ N n [/ matemáticas]

Sumas de progresión aritmética como [matemáticas] \ frac {(a_1 + a_n) n} {2} [/ matemáticas]

Te dejaré el resto, tanto porque soy flojo y las respuestas en quora no deberían hacer el 100% de la tarea.

Answer 5

⑴ T (n) = enésimo término de un GP: a, ar, ar², ar³ ……, ar ^ (n-1) es ar (n-1), lst término = a, razón común = r

⑵ 2 ^ (n-2) es el enésimo término del GP: ½, 1, 2, 4, 8 …… a = ½ ， r = 2

⑶Suma de los primeros N términos

= ½ (2 ^ (N-1) / (2–1) + (3/2) (1 + N) N

= ½ {2 ^ (N-1) + 3N (N + 1)}