¿Pueden aplicarse los Principios de Inducción sobre el intervalo de Números Reales [0,1]? Si corresponde, ¿no significará nuevas definiciones para algoritmos, donde la iteración y la recursividad dependen de la contabilidad?

Answer 1

Tienes razón sobre la conexión a los algoritmos. Como señala Senia Sheydvasser, el análogo infinitivo de inducción es la inducción transfinita, y el análogo infinitario de construir un objeto algorítmicamente es construirlo por recursión transfinita. La recursividad transfinita hace rigurosa la idea de un “algoritmo” que “se ejecuta por infinitos pasos”:

Inducción transfinita

Hay dos problemas Una es que estas construcciones no son en realidad algoritmos: la recursividad transfinita no expande la definición de computabilidad, es solo una técnica análoga para probar la existencia de objetos. La otra es que el orden natural de los números reales (es decir, el orden en el que [matemáticas] 0 <.1 <\ frac {\ pi} {4} <1 [/ matemáticas]) no es un buen orden, por lo que no puede aplicar la inducción o recursión transfinita de la misma manera que lo haría con los números naturales. En su lugar, debe aplicarlo con respecto a uno de los ordenamientos de pozo (extraños, patológicos) de los reales garantizados por el Axioma de Elección, que es poco probable que le diga mucho sobre las propiedades de los números reales con su orden y suma habituales y operaciones de multiplicación.

Answer 2

Existe una noción de inducción que se puede aplicar a conjuntos de cualquier cardinalidad, y es la inducción transfinita. Desafortunadamente, requiere que su conjunto esté bien ordenado. Los reales no están bien ordenados, por lo tanto, no puede aplicarles una inducción transfinita.

Answer 3

De hecho, hay un Principio de Inducción Real. Aquí está lo que dice para un intervalo:

Suponga que [math] P (t) [/ math] es una familia de declaraciones que desea probar, etiquetadas con [math] t \ en [0, 1] [/ math]. Supongamos que puedes probar

• [matemáticas] P (0) [/ matemáticas] es cierto.
• Si [math] P (t ‘) [/ math] es verdadero para todos [math] t’
• Si [math] P (t) [/ math] es verdadero, entonces hay [math] t ‘> t [/ math] tal que [math] P (t’ ‘) [/ math] es verdadero para todos [ matemáticas] t ”

Entonces [math] P (t) [/ math] es verdadero para todos [math] t \ en [0, 1] [/ math].

Puede usar esto para probar algunos hechos básicos en un análisis real. Ver Inducción en números reales para algunos ejemplos.

Answer 4

En resumen, hasta donde yo sé: no.

Un intervalo real es incontable, y el PoI se aplica sobre un dominio contable. También necesita poder ordenar bien su dominio, y eso es algo que nunca se ha logrado para un continuo real.