PARA ENCONTRAR: diferentes ecuaciones cuadráticas, cuyas raíces = los cuadrados de sus raíces.
es decir, 2 raíces £ y β deberían ser lo mismo que £ ², β² .. Entonces solo las ecuaciones permanecen sin cambios.
Del conjunto de números reales:
Tenemos solo 2 de estos números 1 y 0, que son iguales a sus cuadrados.
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Entonces, tenemos raíces £, β como (1,1), (1,0), (0,1), (0,0)
Aquí, (1,0) y (0,1) producen las mismas ecuaciones
Ahora, podemos obtener las ecuaciones por el conjunto de raíces anterior usando la fórmula:
(x- £) (x-β) = x² – (£ + β) x + £ β = 0
(1): (x-1) (x-1) = x² -2x +1 = 0
(2): (x-1) (x-0) = x²-x = 0
(3): (x-0) (x-0) = x² = 0
Del conjunto de números complejos: como 1 y 0, del conjunto de complejos también tenemos 2 números, cuyos cuadrados son iguales a sus conjugados … Como £ ² = β & β² = £, entonces tenemos …
£ = (-1 + √-3) / 2, β = (-1 -√-3) / 2
Entonces, ecuación =
{x – (-1 + √-3) / 2} {x – (-1 – √-3) / 2} = 0
= (x +1/2 – √-3/2) (x + 1/2 + √-3/2) = 0
= x² + x / 2 – x√-3/2 + x / 2 + 1/4 -√-3/4 + x√-3/2 + √-3/2 +3/4
= x² + x / 2 + x / 2 +1/4 + 3/4.
= x² + x + 1 = 0 , ahora si formamos una ecuación con £ ² y β², obtenemos la misma ecuación x² + x + 1 = 0, porque £ ² = β & β² = £
(4): x² + x +1 = 0
De esta manera, hay 4 ecuaciones diferentes, que permanecen sin cambios, incluso al cuadrar sus raíces.
¡PD! Aquí estoy mostrando cómo £ ² = β y viceversa
£ ² = {(-1 + 3i) / 2} ²
= (1 -3i -3i + 3i²) / 4
= (1–6i + 3 * -1) / 4
= (1–6i-3) / 4
= (-2 -6i) / 4
= 2 (-1 – 3i) / 4
= (-1 -3i) / 2 = β
