¿Cuál es el mejor método para explicar a alguien de 15 años la definición de números complejos y sus propiedades?

Answer 1

Creo firmemente en la noción de que las matemáticas son un lenguaje. Si está de acuerdo con esto, puede explicar cómo los números complejos se parecen a los casos en que el lenguaje (las matemáticas) evoluciona a partir de la resistencia del pensamiento matemático; es decir, los números complejos pueden considerarse como una expansión de los números reales, que nos permite expresar soluciones donde los números reales no permitían ninguno.

Lo que esto muestra es que las matemáticas como lenguaje tienen la flexibilidad de ampliar la noción de lo que es una solución, siempre que se haga de manera consistente. Desde este punto, daría un paso atrás y explicaría cómo se han producido expansiones similares desde los números naturales hasta la inclusión de los números naturales de “0” – en adelante a números enteros, números racionales … los números reales y (ahora) números complejos. ¡El contexto es clave! (Victor J. Katz: “Una historia de las matemáticas” es un gran recurso)

ENTONCES (y no un segundo antes) puede comenzar con definiciones, propiedades, etc.

Lo único que debe evitar es que su hijo de 15 años (niño, estudiante, etc.) siga pensando que segmentos de las matemáticas están sujetos a creencias personales de existencia (lo que sería el caso si adopta un enfoque muy científico de las matemáticas). ) Un chico de 15 años que quiere aprender sobre números complejos es un regalo para cualquier maestro que valga la pena … ¡No lo arruines! 🙂

Answer 2

Gracias por A2A, George. Tal vez mi respuesta provocaría protestas entre los educadores de matemáticas, pero creo firmemente que es mucho más fácil explicar a los 15 años qué son números complejos que una abuela, y que no necesitas un tratamiento especial.

La gente siempre resolvió algún tipo de ecuaciones.

Por ejemplo, de este tipo: [matemáticas] x + 3 = 5 [/ matemáticas].
Bueno, esta es probablemente una ecuación con una solución que tiene sentido incluso para tu perro. “Ahora tengo [matemáticas] 5 [/ matemáticas] y te dieron [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. ¿Cuántas manzanas tenías antes?”

Ahora imagine que está en una bota al ver y arrojando una piedra hacia arriba. Sube, luego baja, luego llega a la superficie de visión y se hunde.
Y ahora desea describir su coordenada vertical, pero al principio no sabe ni la altura máxima que alcanza la piedra ni la profundidad del terreno. Hace las cosas mucho más fáciles si tomas como punto de referencia ([matemática] 0 [/ matemática] nivel) la superficie del mar y dices: si una piedra está por encima tiene una coordenada vertical positiva y por debajo, una negativa.
Entonces necesitas números negativos. Teniéndolos, puedes resolver una ecuación [matemáticas] x + 5 = 3. [/ Matemáticas]

Hacer un seguimiento de una coordenada y, incluso en cm, puede no ser lo suficientemente preciso para usted. Y quieres ser preciso. Necesitas números racionales para contar en fracciones de cm. Si multiplica su número fraccionario, digamos por [matemática] 6 [/ matemática], puede obtener un número entero, por ejemplo [matemática] 1. [/ matemática] Debe resolver ecuaciones como [matemática] 6x = 1. [/ Matemática] Necesitas números racionales para este propósito.

Ahora todavía no puede descubrir cuál es la solución de la ecuación [matemáticas] x ^ 2 = 7 [/ matemáticas]. Estás buscando fracciones, obtienes un resultado que está muy cerca de [matemáticas] 7 [/ matemáticas] pero no es precisamente [matemáticas] 7 [/ matemáticas]. Luego preguntas la respuesta de Quora Gram Zeppi a ¿Alguien puede ayudarme a demostrar que √7 es un número irracional? y resulta que no existe tal fracción. Es irracional Entonces necesitas extender los números racionales. Llamas a esta extensión los números reales.

Probablemente sepa lo que viene después. Ahora está resolviendo una ecuación [matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas].

Dado que [math] x ^ 2 +1 \ geq 1 [/ math] deja alguna esperanza de encontrar una solución. Y lo que es bastante diferente, ni siquiera puede encontrar un número real [matemática] x [/ matemática] que esté cerca del resultado deseado. Bueno, la situación con números enteros y racionales tampoco fue mucho mejor.

Ahora tengo que recordar que tienes 15 años. Entonces, no puedo explicarte con precisión cómo se pueden extender los reales para obtener números complejos, ya que aún no lo sabes. ¿Cómo aplico el primer teorema del isomorfismo?

Pero puede suponer que esto es posible y que lo único que necesita es agregar un número [matemática] i [/ matemática] que satisfaga la relación [matemática] i ^ 2 + 1 = 0. [/ Matemática]

Agregar nuevos números siempre implica agregar todos los productos y sumas con números que estaban allí antes.

Entonces obtienes números en la forma [matemática] a + bi [/ matemática] donde [matemática] a, b [/ matemática] son ​​reales.

Usted opera con ellos como de costumbre formalmente usando leyes conmutativas, distributivas, asociativas y teniendo en cuenta que [matemáticas] i ^ 2 = -1. [/ Matemáticas]

Por ejemplo:

[matemáticas] i (2-i) -3i + 7 = 2i -i ^ 2 -3i +7 = [/ matemáticas] [matemáticas] 2i +1 -3i + 7 = 8-i. [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ frac {i} {2i + 3} = \ frac {i (3-2i)} {(2i + 3) (3-2i)} = \ frac {2 + 3i} {13}. [/ matemáticas]

Geométricamente, puede interpretarlos como puntos en un plano (consulte su libro de texto).

Y tienen una buena propiedad:

Si tiene [math] z = a + bi [/ math], puede escribirlo como [math] z = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ bigg (\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas] [matemáticas] + i \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ bigg). [/ Matemáticas]

Denote por [math] r = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ math].

Si comprende un círculo unitario, sabe que se puede encontrar un ángulo tal que [matemática] \ cos \ varphi = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemática] y [matemática ] \ sin \ varphi = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}. [/ math]

Entonces [math] z = \ rho (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) [/ math].

Luego hay una buena fórmula que puede derivar de las identidades trigonométricas para calcular las potencias de [math] z [/ math]:

[matemáticas] z ^ {n} = \ rho ^ {n} (\ cos n \ varphi + i \ sin n \ varphi) [/ matemáticas] ( http://en.wikipedia.org/wiki/De_ …)

Esto es, supongo, casi todo lo que necesitas sobre números complejos mientras estás en la escuela.

Answer 3

Cuento la historia de la historia de nuestra comprensión del número. Comenzando con los números naturales, luego los enteros, los racionales y los reales. Cada vez que planteo una ecuación que no se puede resolver a partir de los números que tenemos disponibles actualmente. Por lo tanto, x + 1 = 0 no tiene solución en los números naturales y 2 x = 1 no tiene solución en los enteros.

Después de desarrollar la idea de un número real, planteo la pregunta: encontrar x e y tal que x + y = 10 y xy = 41. No parece haber una solución real para esto, ya que si x + y = 10 el valor máximo de xy parece ser 25 .

La manipulación algebraica conduce a una solución que requiere la raíz cuadrada de –4. Dejando de lado el ‘absurdo’ de esto, probamos la solución para ver si funciona. ¡Lo hace!

A partir de ahí, desarrollo la visualización geométrica de números complejos como una extensión natural de la recta numérica real.

Como señala Kevin Grell, tengo claro que enfatizo que los números complejos no son más ‘absurdos’ que cualquier otra extensión que hayamos hecho al sistema numérico. Tampoco los números imaginarios son particularmente imaginarios. Considero las raíces de la ecuación x ^ 2 + a mirando la gráfica de y = x ^ 2 + a usando un paquete de gráficos dinámicos como Desmos. Comenzando en, digamos, a = –4, y aumentando el valor de a , vemos que las raíces se mueven a lo largo del eje x una hacia la otra. En a = 0 las raíces coinciden y luego para a > 0 las raíces ‘desaparecen’. ¿Donde han ido? Bueno, ahora se mueven a lo largo de un eje perpendicular a los ejes x e y . Es solo ‘invisible’ porque la pantalla de mi computadora no es tridimensional.

Luego paso a los cuaterniones. . .