¿Por qué un número con cualquier número de dígitos, cuando se resta de su forma invertida, produce un número divisible por 9?

Answer 1

Cualquier número se puede escribir como: [matemática] \ sum_ {i = 0} ^ n 10 ^ ia_i [/ ​​matemática] donde [matemática] a_i [/ ​​matemática] es el i-ésimo dígito (contando desde 0). Por ejemplo, [matemáticas] 437 = 4 \ veces 100 + 3 \ veces 10 + 7 [/ matemáticas].

El reverso del número viene dado por: [matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ n 10 ^ {n – i} a_i [/ ​​matemáticas].

Restando el número de su reverso entonces viene dado por:
[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ n 10 ^ {n – i} a_i – \ sum_ {i = 0} ^ n 10 ^ ia_i [/ ​​matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {i = 0} ^ n (10 ^ {n – i} – 10 ^ i) a_i [/ ​​matemáticas]

Se puede demostrar que: [matemáticas] 10 ^ {n – i} – 10 ^ i [/ matemáticas] es divisible por 9. (Dejaré esto como ejercicio)

Esto muestra que la diferencia es divisible por 9.

Ejemplo:
[matemáticas] 437 = 4 \ veces 100 + 3 \ veces 10 + 7 [/ matemáticas]
[matemáticas] 734 = 4 + 3 \ veces 10 + 7 \ veces 100 [/ matemáticas]
[matemáticas] 734 – 437 = 4 (1 – 100) + [/ matemáticas] [matemáticas] 3 (10 – 10) + 7 (100 – 1) [/ matemáticas]

Dado que (1-100), (10-10) y (100-1) son divisibles por 9, 734-437 es divisible por 9.

Answer 2

Es bastante simple, en realidad.

Hablemos de números de 2 dígitos.

Deje que el dígito de diez sea xy el dígito de uno sea y

El número es así (10x + y). Si invertimos los dígitos, obtenemos (10y + x).

Al restar, obtenemos (9x-9y). Esto siempre será divisible por 9. De manera similar, puede continuar esta lógica para probarla con 3, 4, 5 dígitos, etc.

Se trata de razonamiento matemático, al final. Y si reflexiona un poco sobre estas preguntas, la solución será muy clara …

Answer 3

Porque contamos en el sistema de números decimales, lo que significa que solo tenemos 0-9 dígitos “diez” para jugar. En términos más formales, diez es la raíz del sistema de números que utilizamos.
Reemplacemos diez con “r” y veamos.
Cualquier número se puede escribir como:

[matemáticas] N = u_ {0} + u_ {1} r + u_ {2} r ^ {2} … .. u_ {k} r ^ {k} [/ matemáticas], donde,
[math] u_ {1} [/ math] es el dígito del lugar de las unidades, [math] u_ {2} [/ math] es el lugar del diez, etc.
Ahora, dado que son dígitos, [math] 0 \ leq u_ {i} \ leq 9 \ forall i, 0 \ leq i \ leq k [/ math]
Ahora escribamos el Número y su inverso uno debajo del otro,
[matemáticas] N = u_ {0} + u_ {1} r + u_ {2} r ^ {2} … .. u_ {k} r ^ {k} [/ matemáticas]
[matemáticas] N_ {r} = u_ {k} + u_ {k -1} r + u_ {k -2} r ^ {2}… .. [/ matemáticas] [matemáticas] u_ {0} r ^ {k }[/matemáticas]
Entonces,
[matemática] N – N_ {r} = (u_ {0} – u_ {k}) [/ matemática] [matemática] + (u_ {1} – u_ {k -1}) r [/ matemática] [matemática] … .. [/ matemáticas] [matemáticas] (u_ {k} – u_ {0}) r ^ {k} [/ matemáticas]
O,
[matemáticas] N – N_ {r} = (u_ {k} – u_ {0}) (r ^ {k} – 1) [/ matemáticas] [matemáticas] + (u_ {k – 1} – [/ matemáticas] [matemáticas] u_ {1}) r (r ^ {k-2} – 1) (u_ {k – 2} – u_ {2}) r ^ {2} (r ^ {k-3} – 1) + ….. [/matemáticas]

Si k es par, esto termina en [matemáticas] 0r ^ {\ frac {k} {2}} [/ matemáticas].
Si k es impar, esto termina en [matemáticas] (r ^ {\ frac {k-1} {2}}) (r -1) (u _ {\ frac {k + 1} {2}} – u _ {\ frac {k – 1} {2}}) [/ matemáticas]

Ahora sabemos que [math] r ^ {i} – 1 [/ math] es divisible por [math] r – 1 [/ math]
[math] \ forall i> 0 [/ math] Por lo tanto, cada uno de los términos distintos de cero es divisible por r – 1.

Por lo tanto, la diferencia del número y su reverso es divisible por (r – 1), que en nuestro sistema de conteo está representado por el símbolo “9”.

Del mismo modo, en el sistema hexadecimal, un número y su reverso serán divisibles por [matemáticas] F [/ matemáticas]

Answer 4

Si el número puede ser representado por
[matemáticas] A = a_n a_ {n-1}… a_0 [/ matemáticas]
[matemáticas] = a_n 10 ^ n + a_ {n-1} 10 ^ {n-1} +… + a_0 [/ matemáticas]
entonces,
[matemáticas] A \ equiv \ sum_ {j = 0} ^ n a_j \ mod 9 [/ matemáticas].

Dejar
[matemáticas] A ‘= a_0 a_1… a_n [/ matemáticas]
[matemáticas] = a_0 10 ^ n + a_ {1} 10 ^ {n-1} +… + a_n [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] A \ equiv A ‘\ equiv \ sum_ {j = 0} ^ n a_j \ mod 9 [/ matemáticas].

Así [matemáticas] AA ‘\ equiv 0 \ mod 9 [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que este argumento funciona para cualquier permutación de los dígitos, y no solo para una inversión.

Answer 5

Elija cualquier número entero, N, con cualquier número de dígitos. Ese número es un múltiplo de nueve con un resto de M, donde M está entre 0 y 8.

Tome el dígito de las decenas y el dígito de las unidades de su número N. Supongamos que el dígito de las unidades es un dígito mayor que el de las decenas. (Más adelante verá que esto también funciona donde son iguales y donde el dígito de las decenas es mayor que el dígito de las unidades). Reste el dígito de las decenas del dígito de las unidades y llame a eso D.

Si agrega D al dígito de las decenas, ahora el dígito de las decenas se parece a lo que solían ser los dígitos, pero su número N aumentó en 10 * D. Si resta D del dígito de las unidades en su número N, el dígito de las unidades ahora se ve exactamente como el dígito de las decenas, pero su número N bajó en D. Dado que el dígito de las unidades se parece a lo que solía ser el dígito de las decenas y las decenas el dígito se parece a lo que solían ser los dígitos, ha cambiado los dos dígitos. Al hacer el intercambio, subió 10 * D y bajó D, por lo que en general su número N aumentó en 9 * D. (Si el dígito de las unidades fuera menor que el dígito de las decenas, su número N disminuiría en 9 * D en el intercambio y si fueran iguales, su número N no cambiaría).

Entonces, al intercambiar dos dígitos adyacentes, cambió el valor de su número N por 9 * D, que obviamente es un múltiplo de nueve. Si todo lo que hace es intercambiar dígitos adyacentes, solo aumentará o disminuirá el valor de N en algún múltiplo de nueve. Cualquier permutación de dígitos (una lista de dígitos en orden) se puede obtener de cualquier otra permutación simplemente haciendo una secuencia de intercambios de dígitos adyacentes, por lo que cualquier permutación del mismo conjunto de dígitos solo puede sumar o restar un múltiplo de 9.

Si resta una permutación de los dígitos N de otra permutación de los dígitos de N, está restando un múltiplo de 9 más un resto M de otro múltiplo de 9 más ese mismo resto M, por lo que el resultado de la resta de esas dos permutaciones tiene que ser múltiplo de 9.