¿Por qué la suma de enteros hasta cualquier potencia de 2 tiene una representación binaria tan simple?

Answer 1

¿Cuál es la suma de todos los números? entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ k -1 [/ matemáticas], inclusive?

Si los escribe en binario uno debajo del otro, obtendrá una lista con el siguiente aspecto:

000000
000001
000010
000011
……
111110
111111

Ahora, obviamente, cada columna contiene exactamente [math] 2 ^ {k-1} [/ math] ceros y [math] 2 ^ {k-1} [/ math] unos. Cada uno de los 1s en la columna [math] i [/ math] (comenzando con la columna [math] 0 [/ math] a la derecha) tiene un peso [math] 2 ^ i [/ math].

Por lo tanto, la suma es:
[matemáticas] 2 ^ {k-1} \ cdot (1 + 2 + \ cdots + 2 ^ {k-1}) =
2 ^ {k-1} \ cdot (2 ^ k -1) [/ matemáticas]
(La primera expresión es “número de 1s en cada columna” multiplicado por “la suma de los pesos de todas las columnas”).

(Obviamente, obtendría el mismo resultado simplemente usando la fórmula habitual: la suma de 0 a n es n (n + 1) / 2. Aún así, el argumento anterior debería mostrar dónde está el patrón en la representación binaria de este resultado en particular viene de.)

Answer 2

Hagámoslo de manera diferente …
[matemáticas] \ displaystyle 0 + 1 +… + \ left (2 ^ k-1 \ right) = \ frac {2 ^ k \ left (2 ^ k-1 \ right)} 2 = 2 ^ {2k-1} -2 ^ {k-1} [/ math], que muestra k unos y k-1 ceros en la base 2. Sí.

Answer 3

Porque eso es lo binario: una suma de potencias de 2. Así es como funcionan los sistemas base.

En la base 10, un número como 1,234 es igual a la suma 1 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 4 * 1, que también podría escribirse 1 * 10 ^ 3 + 2 * 10 ^ 2 + 3 * 10 ^ 1 + 4 * 10 ^ 0, es decir, la suma de poderes sucesivos de 10.

Lo especial del binario es que sus dígitos solo pueden ser 1 o 0, lo que significa que un dígito determina si se incluye o no una potencia de 2 en la suma, sin tener que hacer multiplicaciones adicionales por el valor del dígito.
Entonces, un número binario como 1010 es igual a la suma 1 * 2 ^ 3 + 0 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 1 + 0 * 2 ^ 0, o en forma simplificada, 2 ^ 3 + 2 ^ 1.