¿Cuál es la diferencia entre la secuencia y la convergencia de series?

Answer 1

Una secuencia es una lista ordenada (a menudo de números). Aquí hay unos ejemplos:

• 1, 1, 1, 1, 1, …
• 1, 2, 3, 4, 5
• 1, -2, 3, -4, 5, -6, …
• 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,…

A menudo, una secuencia se define mediante algunas ecuaciones para generar el enésimo elemento. Aquí están las ecuaciones para estas secuencias:

• [matemáticas] a_n = 1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] a_n = n [/ matemáticas]
• [matemáticas] a_n = (- 1) ^ {n + 1} n [/ matemáticas]
• [matemáticas] a_n = \ frac 1 n [/ matemáticas]

Hablando en términos generales, una secuencia converge si sus términos se obtienen y permanecen arbitrariamente cerca de algún número. Entonces la primera secuencia converge a una. La segunda secuencia no converge (aunque a veces podríamos decir que su límite es infinito). El tercero no converge a nada y debido a que cambia de signo cada término, no se limita al infinito a pesar de que crece en magnitud.

La última secuencia converge a cero ya que los términos se vuelven cada vez más pequeños y eventualmente se vuelven arbitrariamente cercanos a cero.

Una serie es solo la suma de los términos en una secuencia. Por ejemplo, si agregamos los términos en la primera secuencia, obtenemos infinito. Lo mismo es cierto para la segunda secuencia. Decimos que una serie converge si la secuencia de sumas parciales converge. En otras palabras, formamos una nueva secuencia que es la suma de los primeros términos, la suma de los dos primeros términos, la suma de los primeros tres términos, y así sucesivamente. Si esa nueva secuencia converge, entonces decimos que la serie converge.

Dado que esas dos primeras series se suman al infinito, no convergen (aunque nuevamente, se limitan al infinito). La tercera serie no converge (ni se limita a nada) porque las sumas parciales se alternan. La última serie en realidad tampoco converge (aunque no es inmediatamente obvio), porque la suma se limita al infinito.

Pero hay series interesantes que convergen. Aquí hay dos:

• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 … o [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {- n} [/ matemáticas]
• 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… 0r [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {- 2} [/ matemáticas]

La primera de estas series converge a una. El segundo converge a [math] \ frac {\ pi ^ 2} 6 [/ math] (aunque esto no es muy fácil de mostrar).

Answer 2

Una secuencia

[matemáticas] (a_n) = a_0, a_1, a_2, a_3, \ ldots [/ matemáticas]

converge si [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} a_n [/ math] existe.

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Una serie

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \ cdots [/ math]

converge si la secuencia de sumas parciales

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ sum_ {k = 0} ^ n a_k \ right) = a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, a_0 + a_1 + a_2 + a_3, \ ldots [/ math]

converge, es decir, si existe el límite de la secuencia de sumas parciales.

Answer 3

Considere la secuencia [math] a_n [/ math]. [math] a_n [/ math] converge si [math] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} a_n [/ math] existe. Por ejemplo:

[matemáticas] a_n = \ dfrac {1} {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim \ límites_ {n \ to \ infty} a_n = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] a_n [/ math] converge.

sin embargo

[matemáticas] a_n = n [/ matemáticas]

[math] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} a_n [/ math] no existe, por lo que [math] a_n [/ math] no converge.

En realidad, no hay diferencia en la convergencia de “secuencia” y “serie”, ya que las series son solo secuencias en sí mismas.

[math] \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {n} a_k [/ math] puede considerarse como una secuencia de sumas parciales, o [math] s_n [/ math]. La convergencia de [math] s_n [/ math] depende de muchos factores relacionados con [math] a_n [/ math], pero al final, la convergencia de esa serie es realmente la convergencia de la secuencia [math] s_n [/ math ]

Answer 4

La convergencia de series ocurre cuando el límite como n tiende al infinito de una serie: a1 + a2 ……. + An es finito.
La convergencia de secuencias se produce cuando el límite como n tiende al infinito de an es finito.