¿Se puede resolver el problema de encontrar la resistencia equivalente entre dos puntos en una red infinita de resistencias?

Answer 1

Si. Y la respuesta es aproximadamente 0.773 ohmios.

La solución se publicó en el hilo de este cómic en el foro xkcd. 0356: “Nerd Sniping” y también discutido en la página de explicación para el cómic 356: Nerd Sniping. Da la respuesta como (4 / Pi-1/2) ohmios, o 0.773 ohmios y luego se refiere a esta página: Rejilla infinita de resistencias. Que tiene una discusión exhaustiva del problema.

Lo que sigue a continuación es una refutación de otra respuesta que afirma erróneamente que la resistencia sería cero si la cuadrícula fuera realmente infinita. Esto prueba que existe una solución finita distinta de cero. Es un poco superfluo cuando se vincula una solución exacta arriba, pero podría ayudar a cierta intuición sobre el problema, así que seguí la solicitud y la pegué en la respuesta aquí:

Agregar más caminos para la corriente disminuirá la resistencia, pero eso no significa que la resistencia necesariamente llegue a cero. Considere el siguiente diagrama más simple:

Si sigue agregando resistencias a la torre de la derecha, seguirá agregando más caminos para la corriente, pero la resistencia se acercará a la resistencia de la resistencia izquierda, no a cero.

Aquí tenemos una cuadrícula truncada a partir del problema original. (Por favor ignore el “100”, no quería cambiar todas las resistencias a un ohm). Esta configuración tendrá una cierta resistencia. Agregar más resistencias al patrón disminuirá esta resistencia.

Aquí tenemos lo mismo, pero rodeado de cables ideales. La resistencia será menor porque la corriente puede fluir hacia el borde y luego a través de los cables. Pero no será cero, ya que todavía tiene que pasar por las resistencias en un número finito de caminos. Agregar más al patrón en este caso solo puede aumentar la resistencia total, ya que las nuevas rutas que anuncia no pueden ser mejores que una a través del cable ideal.

Por lo tanto, incluso sin saber la respuesta exacta, sabemos que tiene que estar en algún lugar entre la resistencia de los dos ejemplos truncados anteriores.

Answer 2

Recibí la respuesta como 13/36

Supongamos que una corriente I entra en el punto rojo de la izquierda, se divide simétricamente en 4 ramas simétricas, es decir, I / 4. Después de eso, en cada nodo, la corriente se divide en 3 ramas simétricas (simétricas debido a la cuadrícula infinita) y se convierte en I / 12. De nuevo se divide en 3 ramas simétricas y se convierte en I / 36. Ahora, llegamos al punto rojo a la derecha. Aplique KVL para encontrar V / I, es decir, la resistencia resultante.

No estoy seguro de si esta solución funciona. Por favor, avíseme si estoy equivocado.

Answer 3

¡Parece un problema infinito, infinitas resistencias, infinitos cálculos!

¡Una solución práctica sería medir la resistencia con un multímetro!

Entonces me gustaría trabajar hacia atrás y ver si puedo encontrar una solución aproximada fácil. Simplificaría la pregunta y descuidaría todas las resistencias desde una cierta distancia, desde los puntos inicial y final.

La mayor parte de la resistencia que afecta el resultado final provendría de las resistencias más cercanas. Un aumento de la resistencia (es causado por la conexión en serie de las resistencias).

La disminución de la resistencia (es causada por la conexión en paralelo de las resistencias)

Un método podría ser contar la cantidad mínima de resistencias necesarias de A a B. Agregar esas resistencias juntas debería dar la resistencia máxima. Todas las demás resistencias podrían contarse como conexiones paralelas, disminuyendo la resistencia total, en cierta medida.

Answer 4

Lo que hace que estas cosas sean tan divertidas para mí es que sí, podrías hacer explotar la cabeza de un matemático, pero aprendí hace muchos años, incluso antes de leer a Richard Feynman, eso está bien como ingeniero o técnico para hacer un “acercamiento” cálculo.

La respuesta obvia para un técnico es tomar un ohmímetro y leer entre los nodos, pero como no podemos hacerlo, truncaremos la cuadrícula a “bastante grande”.
Ahora la respuesta se convierte en “lo suficientemente cerca de cero como para simplemente llamarlo cero”.
Todas las resistencias son de 1 ohm, hay “muchas” rutas de corriente paralelas y la fórmula para las resistencias en paralelo es … ¡maldición, voy a tener que encontrar látex en Quora alguna vez! De todos modos, el recíproco de los recíprocos agregados de las resistencias.

Answer 5

Si. No me preguntes cómo, sin embargo.

Si te interesa, encontré esto.