Peter tomó diez enteros positivos consecutivos y dividió cada uno de ellos por algún número entero positivo n. Cuando agregó los diez restos, obtuvo una suma de 1000. ¿Cuál es el valor más pequeño posible de n?

Suponga que el conjunto [matemática] S [/ matemática] del resto no incluye [matemática] 0 [/ matemática]. Si [math] \ min S = r [/ math], entonces tenemos [math] 1000 = r + (r + 1) + (r + 2) + \ cdots + (r + 9) = 10r + 45 [/ math] . Esto es imposible ya que los dos lados de la ecuación son de paridad opuesta .

Por lo tanto, [matemática] S = \ {nk, n- (k-1), n- (k-2), \ ldots, n-1 \} \ cup \ {0,1,2, \ ldots, 9-k \} [/ math], para algunos [math] k \ in \ {1,2,3, \ ldots, 9 \} [/ math]. Por lo tanto

[matemáticas] 1000 = \ dfrac {k} {2} (2n-k-1) + \ dfrac {1} {2} (9-k) (10-k) [/ matemáticas],

que se simplifica a

[matemáticas] k (n-10) = 955 [/ matemáticas].

Como [math] k \ mid 955 = 5 \ cdot 191 [/ math] ([math] 191 [/ math] es primo ) y [math] 1 \ le k \ le 9 [/ math], [math] k = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 5 [/ matemáticas]. Si [matemática] k = 1, [/ matemática] entonces [matemática] n = 965 [/ matemática]; si [matemática] k = 5, [/ matemática] entonces [matemática] n = 201 [/ matemática].

El valor más pequeño posible de [math] n [/ math] es [math] 201 [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Lo bueno de los restos es que para los números consecutivos, el resto del módulo n también es consecutivo.

Para que n sea lo más pequeño posible, sus 10 restos más grandes deben sumar 1000. Es decir,
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {10} (n – i) = 1000 [/ matemáticas]
[matemáticas] 10n – 55 = 1000 [/ matemáticas]
[matemáticas] n \ aprox 105.5 [/ matemáticas]
Hmm, bueno, n no es un número entero. Ok, tomemos 10 restos consecutivos arbitrarios, es decir,
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {10} (n – i – k) = 1000 [/ matemáticas]
[matemáticas] 10 n – 55 – 10k = 1000 [/ matemáticas]
[matemáticas] n = k + \ frac {1055} {10} [/ matemáticas]

Para tal k, ¿podemos encontrar una n que sea un número entero? Por lo tanto, no existe una ‘n’ para la cual 10 residuos consecutivos suman 1000.


Entonces, ¿hemos terminado? Bueno, no del todo.


Verá, los residuos no solo son consecutivos para números consecutivos, sino que también cambian de ciclo, por lo que podríamos considerar la posibilidad de que los primeros pocos residuos sean consecutivos y el ciclo restante de 0. Entonces, obtenemos,
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {10 – k} (n – i) + \ sum_ {j = 1} ^ k (j – 1) = 1000 [/ matemáticas]
[matemáticas] (10 – k) n – \ frac {(10 – k) (10 – k + 1)} {2} + [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {k (k + 1)} {2} – k = 1000 [/ matemáticas]
[matemáticas] n = \ frac {5 (211 – 2k)} {10 – k} [/ matemáticas]

El k más pequeño para el que n es un entero es k = 5, dando n = 201. Y los restantes son 196, 4, 197, 3, 198, 2, 199, 1, 200, 0.

Por lo tanto, el n más pequeño posible es 201.

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