¿Cómo se puede encontrar el par [math] (a, b) [/ math], [math] a [/ math], [math] b \ in \ mathbb {Z} [/ math] de manera que [math] (a ^ {\ frac {1} {3}} + b ^ {\ frac {1} {3}}) ^ 3 [/ math] también es un entero?

Answer 1

Vemos que el número que obtenga será (a ^ 1/3 + b ^ 1/3) ^ 3 = a + b + a ^ 1/3 * b ^ 2/3 + a ^ 2/3 * b ^ 1 / 3

Sabemos que a + b es un número entero. Lo que significa que, para que el resultado sea un número entero, necesitamos que R = a ^ 1/3 * b ^ 2/3 + a ^ 2/3 * b ^ 1/3 sea ​​un número entero.

Anotemos la factorización de a as (c1, c2, c3, … cj), j = 1 hasta el infinito, donde cj es el número de veces que ocurre la prima j en a. De manera similar, anotamos la factorización prima de b como (d1, d2, … dj).
¿Para qué valores de los vectores cyd serán R un número entero? Vemos que para que R sea un número entero, ambos términos que se agregarán deben ser un número entero. Esto nos da

a ^ 1/3 * b ^ 2/3 es un número entero
a ^ 2/3 * b ^ 1/3 es un número entero

Esto significa que
c1 / 3 + 2 * d1 / 3 = entero, 2 * c1 / 3 + d1 / 3 = entero
c2 / 3 + 2 * d2 / 3 = entero, 2 * c2 / 3 + d2 / 3 = entero
…
cj / 3 + 2 * dj / 3 = entero, 2 * cj / 3 + dj / 3 = entero

Resolviendo cada ecuación por pares, obtenemos

(c1-d1) / 3 = entero
(c2-d2) / 3 = entero
…
(cj-dj) / 3 = entero

¿Qué significa esto? Para cualquiera de los dos enteros ayb, si el número de veces que cada factor primo aparece en ellos difiere en un múltiplo de 3 , los números satisfacen nuestras restricciones.

Por lo tanto, el conjunto de números que satisfacen las restricciones dadas es infinito, ya que para cualquier número a, podemos encontrar un número b que tiene el recuento de cada factor primo que difiere en un múltiplo de 3.

Answer 2

Se puede observar fácilmente que esto se satisface siempre que ayb son cubos de enteros. Por ejemplo si a , b = 8, 27; entonces la expresión se convierte en 125. Sin embargo, esto puede generalizarse al caso en el que la parte libre de cubos de a y b son iguales.

Vamos a definir la parte libre de cubos de un entero N dado. Primero factorizamos el número entero. Luego dividimos N entre todos los cubos (o sextas potencias, etc.) de primos que ocurren al menos 3 veces (o 6 veces, etc.) en la factorización. Entonces, para [math] 54 = 3 ^ 3 \ times 2 [/ math] la parte libre del cubo es 2. Por lo tanto, el par 2, 54 también daría un número entero en la expresión final. De hecho, es 128. Ahora, el primer caso es solo una especialización de esto cuando la parte libre de cubos de ambos enteros es 1.