Para la pregunta actualizada: supongo que no es lo suficientemente grande …
de la respuesta para la antigua Q a continuación, obtenga el número de formas cuando no hay restricción (la cesta inicial contiene al menos k de cada color) como B (n, k) = (k + n-1) C (k)
luego, según los requisitos dados, encuentre los colores para los que no tenemos al menos k bolas en la canasta original, supongamos que hay m tales colores (con c (i) que representa el número de bolas disponibles del color i, i = {1,2,3..m}). Si la restricción tuviera un límite inferior, es decir, seleccionar al menos bolas “x” para un color particular, entonces habría sido mucho más fácil. Pero aquí la restricción es tener algunas bolas de “x” de límite superior para un color. Podemos convertir un enlace a otro.
imagine que tenemos suficientes bolas para cada color y estamos seleccionando k bolas sin ninguna restricción. Considere el evento no deseado cuando el conteo de la bola de color i-ésimo rompe el umbral de c (i). El número de formas de construir una cesta distinta de modo que haya más de c (i) bolas para un color i = B (n, k- (c (i) +1)) (solo seleccione c (i) +1 bolas de i ^ th color al principio y te quedan con k- (c (i) +1) más bolas para elegir entre los colores N. Como i = {1,2,3, … m}, habría un total de 2 ^ m-1 formas para que ocurra el evento no deseado de ruptura del umbral.
Tenemos que eliminar cada uno de estos eventos, teniendo en cuenta no contar en exceso las intersecciones, utilizando el principio de inclusión-exclusión. Entonces, para algunos requisitos dados como: n colores, c (i) para i = {1,2,3, … m}, para elegir k bolas tendremos el número total de formas =
[matemáticas] B (n, k) [/ matemáticas] [matemáticas] – \ sum_ {i = 1} ^ {m} B (n, k- (c (i) +1)) [/ matemáticas] [matemáticas] + \ sum_ {i <j} ^ {m} B (n, k- (c (i) +1) – (c (j) +1)) [/ math] [math] – \ sum_ {i <j <l} ^ {m} B (n, k- (c (i) +1) [/ matemática] [matemática] – (c (j) +1) – (c (l) +1)) [/ matemática ] [matemáticas] + \ sum_ {i <j <l <..} ^ {m} … [/ matemáticas]
- ¿Hay algún teorema que relacione el número de coincidencias perfectas en un gráfico no bipartito con su permanente?
- Dados n números del 1 al n, elija dos con reemplazo. ¿Cuál es la expectativa y la varianza del número mayor? ¿Cuál es la distribución?
- Cómo resolver ‘0 0 pares’ en SPOJ
- ¿Por qué no se pueden usar los dígitos de pi para hacer un generador de números aleatorios no cíclicos?
- Cómo calcular la probabilidad de ganar en ajedrez
donde para negativo k, B (n, k) = 0
funciona bien para el ejemplo dado en la pregunta.
Para la vieja pregunta:
Supongo que la canasta inicial es lo suficientemente grande como para contener al menos k bolas para cada color, supongamos que hay n colores diferentes …
para cada canasta distinta, tenemos que seleccionar k bolas en total. Representa “k” como una suma de n componentes (cada componente ordenado / indexado a un color correspondiente, por ejemplo, si k = 10 n = 4, entonces podemos tener 10 = 1 (color1) +1 (color2) +3 (color3) + 5 (color4) o muchas otras composiciones similares) donde cada componente denota el número correspondiente de bolas de colores a seleccionar (en nuestro ejemplo, seleccione 1 bola para color1, seleccione 1 bola para color2, seleccione 3 bolas para color3, seleccione 5 bolas para color4). Ahora, para cada composición distinta, obtendrá una cesta distinta.
Esta tarea es similar al problema estándar de distribuir k bolas idénticas en n compartimientos distintos que es (n + k-1) C (k) usando el argumento Estrellas y barras (Teorema 2).
¿Dónde planeabas usar multinomios? dividiendo la suma k en componentes desordenados (llamados particiones) y luego coeff multinomial para ordenarlos, etc.? ruta indirecta que es.