Dados n números del 1 al n, elija dos con reemplazo. ¿Cuál es la expectativa y la varianza del número mayor? ¿Cuál es la distribución?

Answer 1

Es bastante fácil ver que hay [matemática] 2k-1 [/ matemática] formas de elegir dos números de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] k [/ matemática] al menos uno de los cuales es [matemática] k [/ matemáticas]. Entonces, la probabilidad de que el número mayor sea igual a [matemática] k [/ matemática] es simplemente [matemática] \ frac {2k-1} {n ^ 2} [/ matemática] para [matemática] k [/ matemática] entre [ matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas].

Tome esto y conéctelo a la fórmula del valor esperado, [math] \ sum_ {k = 1} ^ nk \ frac {2k-1} {n ^ 2} [/ math] que se simplifica a [math] \ frac {( n + 1) (4n-1)} {6n} [/ matemáticas].

Luego puede conectarlos a la fórmula de varianza. Wolfram Alpha sum (((2 * i-1) / (n ^ 2)) * ((n + 1) (4n-1) / (6n) – i) ^ 2, i = 1..n) – Wolfram | Alpha proporciona una solución de [matemática] \ frac {2n ^ 4 – n ^ 2 – 1} {36n ^ 2} [/ matemática] para la varianza, aunque es posible que haya escrito eso incorrectamente.

Answer 2

1. Construya una matriz M de tamaño nx n.
2. Rellene cada entrada de M (i, j) con max (i, j).
3. Que observas
4. ¿Cuál es la probabilidad de que max sea igual a k?
5. ¿Puedes escribir el formulario de expectativa y variación?

Answer 3

Hay una respuesta general dada en el artículo de Wikipedia sobre estadísticas de pedidos. Se simplificará un poco dado que se trata de una distribución uniforme discreta, pero no obtendrá una respuesta elegante o simple.