¿Cuál es el método de Newton-Rapson para encontrar una raíz cuadrada de un número entero? ¿Cómo se usa?

Answer 1

La idea básica con el método de Newton-Raphson es que comience con una aproximación razonablemente buena de la raíz deseada de cualquier función de la que estemos hablando (en este caso, [matemáticas] f (x) = x ^ 2 – n [/ matemática] si [matemática] \ sqrt {n} [/ matemática] es lo que estamos buscando) y utiliza la aproximación lineal de la función (es decir, la línea tangente) en ese valor de [matemática] x [/ matemática] para encontrar un mejor aproximación; luego repita según sea necesario. Mientras su primera aproximación esté lo suficientemente cerca, la raíz de la aproximación lineal (es decir, la intercepción [matemática] x [/ matemática] de la línea tangente) estará aún más cerca de la raíz real de [matemática] f (x) [/ math], así que esa será tu próxima aproximación.

Es bastante fácil encontrar el número entero más cercano a la raíz cuadrada deseada, y eso debería estar lo suficientemente cerca. Por ejemplo, si está buscando [math] \ sqrt {35} [/ math], es razonable comenzar con [math] x_0 = 6 [/ math] desde [math] 36 [/ math], es decir, [math ] 6 ^ 2 [/ math], es el número cuadrado más cercano a 35. Si está buscando algo como [math] \ sqrt {123,456,789} [/ math] (¡y no hacer trampa!) Puede generar cuadrados bastante rápido al Agregar números impares sucesivos (por ejemplo,

[matemáticas] 1 = 1 ^ 2 [/ matemáticas]
suma 3: [matemática] 4 = 2 ^ 2 [/ matemática]
suma 5: [matemáticas] 9 = 3 ^ 2 [/ matemáticas]
agregue 7: [matemáticas] 16 = 4 ^ 2 [/ matemáticas]
y así…)

hasta que encuentre que [matemáticas] 123,454,321 = 11,111 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 123,476,544 = 11,112 ^ 2 [/ matemáticas]. (Hice trampa.)

Volvamos a [math] \ sqrt {35} [/ math] para que no tenga que escribir tanto. Ya hemos determinado que [matemáticas] x_0 = 6 [/ matemáticas] es una buena aproximación inicial. Sabemos por cálculo que [matemáticas] f ‘(6) [/ matemáticas] es la pendiente de la línea que es tangente a la gráfica de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] en el punto [matemáticas] (6, f (6)) [/ math], entonces una ecuación para la aproximación lineal es [math] y – f (6) = f ‘(6) (x – 6) [/ math]. En este caso [matemáticas] f (x) = x ^ 2 – 35 [/ matemáticas] y, por lo tanto, [matemáticas] f ‘(x) = 2x [/ matemáticas]; entonces usamos la ecuación [matemática] y – 1 = 12 (x – 6) [/ matemática], conectamos 0 para [matemática] y [/ matemática] y [matemática] x_1 [/ matemática] para [matemática] x [ / math] y resuelve [math] x_1 [/ math]. En este caso obtenemos [matemáticas] x_1 = 71/12 [/ matemáticas]. Digamos que aproximamos esto como 5.91666666667. Luego configuramos la ecuación [matemáticas] 0 – (5.91666666667 ^ 2 – 35) = 2 (5.91666666667) (x_2 – 5.91666666667) [/ matemáticas] y resolvemos [matemáticas] x_2 [/ matemáticas]. O realmente, simplemente usamos la fórmula que habría resultado de resolver [matemáticas] 0 – (x_1 ^ 2 – 35) = 2 x_1 (x_2 – x_1) [/ matemáticas] para [matemáticas] x_2 [/ matemáticas]. Repita hasta que sus respuestas sucesivas estén tan juntas que tenga una aproximación que sea tan precisa como desee.

Answer 2

Es un método de número iterativo. Este tipo de métodos crea una sucesión [matemática] (x_0, x_1 \ cdots x_n) [/ matemática]. Con algunas condiciones iniciales dada una raíz de la función f, [math] \ alpha [/ math]
[matemáticas] f (\ alpha) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {n-> inf} {\ alpha-x_n} = 0 [/ matemáticas]

Más exactamente newton-rapson sigue el siguiente esquema:

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {f (x)} {f ‘(x_n)} [/ matemáticas]

Para encontrar la raíz cuadrada de un entero (t) puedes hacer este truco.
[matemáticas]
f (x) = x ^ 2 – t [/ matemáticas]
entonces en nuestro caso:
[matemáticas]
x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {(x_n) ^ 2-t} {2x_n}
[/matemáticas]

donde f ‘(x) = 2x.

Answer 3

El método Newton-Raphson es una fórmula de iteración para aproximar las raíces de la ecuación [math] f (x) = 0 [/ math] para alguna función suficientemente bien comportada [math] f (x) [/ math] que es al menos una vez -diferenciable, dada una suposición inicial que es “suficientemente buena”.

La idea de la iteración NR es “seguir la pendiente” de la función en el punto [matemático] (x_n, f (x_n)) [/ matemático] de regreso a donde la tangente de la función en ese punto cruza el eje x. Haga esto suficientes veces y eventualmente estará “lo suficientemente cerca” de la raíz para todos los fines prácticos.

Entonces, la iteración NR comienza con una línea recta a través del punto [matemática] (x_n, f (x_n)) [/ matemática] con pendiente [matemática] f ^ \ prime (x_n) [/ matemática]. Es decir [matemáticas] \ frac {yf (x_n)} {x-x_n} = f ^ \ prime (x_n) [/ matemáticas]. Esto se puede reorganizar en la ecuación de una línea, pero no necesitamos hacer eso; lo que queremos es el punto en esta línea que satisfaga [math] (x_ {n + 1}, 0) [/ math], por lo que los sustituimos por [math] (x, y) [/ math]:

[matemáticas] \ frac {-f (x_n)} {x_ {n + 1} – x_n} = f ^ \ prime (x_n) [/ matemáticas]

que resolvemos para que [math] x_ {n + 1} [/ math] obtenga

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ frac {f (x_n)} {f ^ \ prime (x_n)} [/ matemáticas].

Entonces, para encontrar la raíz cuadrada de un número, desea construir la función correcta [math] f (x) [/ math]. El número que está buscando satisface la ecuación [matemáticas] x ^ 2 = a [/ matemáticas], donde [matemáticas] a [/ matemáticas] es el número cuya raíz cuadrada desea encontrar. Es decir, formalmente, sabemos que [matemáticas] x = \ pm \ sqrt {a} [/ matemáticas], incluso si no sabemos su valor.

Podemos reorganizar la ecuación anterior para que el lado derecho sea cero y, por lo tanto, el lado izquierdo es la función que queremos: [matemática] f (x) = x ^ 2 – a = 0 [/ matemática]. Ta-daa!

Ahora encontramos [math] f ^ \ prime (x) = 2x [/ math], y tenemos todo lo que necesitamos para usar la iteración NR para aproximar [math] \ pm \ sqrt {a} [/ math]. Si obtienes la raíz positiva o negativa depende de tu conjetura inicial [matemáticas] x_0 [/ matemáticas]: un número positivo o negativo. El único problema es si elige que el punto inicial sea [matemático] x_0 = 0 [/ matemático], porque entonces la línea tangente tiene una pendiente de cero, y la fórmula NR tiene una división por cero. ¡No es algo bueno!

Lo bueno de esto es que no tienes que elegir [math] a [/ math] para ser un número entero; puede ser cualquier número real no negativo (¡aunque si te adentras lo suficiente en las matemáticas también aprenderás a lidiar con las raíces cuadradas de los números reales negativos!).

Si está interesado, vea si puede averiguar qué función [matemática] f (x) [/ matemática] necesita para aproximar el cubo (o cualquier otra) raíz de números reales y, por lo tanto, cómo se verá la fórmula NR en esos casos particulares

Si tiene funciones más complicadas y no tan buenas conjeturas iniciales, NR puede proporcionarle resultados extraños, como respuestas que no convergen (oscilando a través de dos o más valores en el límite), o que convergen a puntos muy alejados de donde usted iniciado, o que conducen a “puntos estacionarios” de su función y, por lo tanto, se detienen debido a una división por cero (o un número tan pequeño que sus resultados podrían ser descartados si está haciendo esto en una computadora). Estas son cosas con las que solo tenemos que vivir, porque en lo que respecta a las raíces aproximadas de las funciones, NR es uno de los métodos más rápidos que tenemos. Es posible encontrar esquemas similares que usen derivados más altos, pero generalmente son mucho más caros (en términos de tiempo de cálculo) que la poca ganancia en precisión con cada paso no vale la pena. Otros métodos que no sufren las dificultades de NR suelen ser más lentos, por lo que en el mundo real debe elegir algo que sea apropiado para su problema.

También puede usar NR para funciones de más de una variable, pero es mejor hacer un ejercicio hasta más tarde. 😉