Esto está etiquetado como un problema de competencia matemática, por lo que supongo que desea ver cómo lo haríamos sin la ayuda de una computadora. Primero, tenemos que factorizar 2014. Tiene un factor obvio de 2, así que continuaremos factorizando 1007. Obviamente no tiene ningún factor de 2 o 5. No tiene ningún factor de 3 porque si sumamos los dígitos suman 8, que no es un factor de 3. No conozco ningún buen truco para números primos más grandes, así que en su lugar usaré [matemática] 1007 = 100 * 10 + 7 [/ matemática] y haré algunos aritmética modular para verificar 1007 mod p para primos más grandes.
Para 7, tomamos 100 mod 7 para encontrar 2. Multiplique por 10 y tome mod 7 nuevamente para encontrar 6. Ahora agregue 7 para encontrar 13, no un múltiplo de 7. De manera similar para 11, tomamos 100 mod 11 como 1, multiplique por 10 para obtener 10, luego agregue 7 por 17, no un múltiplo de 11. Para 13, 100 mod 13 es 9, multiplicado por 10 es 90, mod 13 es 12, más 7 es 19, no un múltiplo de 13. Para 17, obtenemos 100 mod 17 = 15, que también es equivalente a -2 (más fácil de manejar). Multiplique por 10 para -20, que es equivalente a 14 mod 17. Agregue 7 para 21, no un múltiplo de 17. Para 19, obtenemos 100 es igual a 5 mod 19, luego 50 mod 19 es 12, más 7 es 19. Nosotros ¡He encontrado otro factor! Dividir 1007 por 19 produce 53. 53 debe ser primo, ya que [matemática] 19 ^ 2> 53 [/ matemática] y ya demostramos que 1007 (y, por lo tanto, cualquier factor primo de la misma) no tiene factores primos menores que 19.
Por lo tanto, [math] 2014 = 2 \ cdot 19 \ cdot 53 [/ math], por lo que tiene factores [math] 2 ^ 3 = 8 [/ math], ya que cada uno de estos factores primos puede aparecer 0 o 1 veces en un factor. Del mismo modo, cualquier otro número que tenga 8 factores debe tener 3 factores primos que aparezcan con una potencia de 1, un factor primo con una potencia de 3 y uno con una potencia de 1, o un factor primo con una potencia de 7.
Primero veamos 3 factores primos con una potencia de 1. [matemática] 3 \ cdot 5 \ cdot 7 = 105 [/ matemática], entonces sabemos que cualquier 3 debe contener un 2. Así que realmente estamos buscando pares de primos mayores que 2 que se multiplican por menos de 50. Si el menor de estos dos es 3, el mayor debe ser menor que 17, dando 5, 7, 11, 13. Entonces hay 4 de esos pares. Si el más pequeño es 5, el más grande debe ser menor que 10, dando el par único (5, 7). Si el más pequeño es 7, el más grande debe ser menor que 8, por lo que no hay tales pares. Entonces, el número total de triples de factores primos que funcionan aquí es 5.
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Ahora veamos pares de números primos, uno de los cuales está en cubos. Si el cubo es 2, entonces 8 veces otro primo debe ser menor que 100. Esto funciona para 3, 5, 7, 11, dando 4 resultados. Si el número en cubos es 3, entonces necesitamos un primo distinto de tres veces 27 para que sea menor que 100. Esto solo funciona si el otro primo es 2, dando otro resultado. Entonces, el número de pares donde uno está en cubos es 5.
Finalmente, veamos cuántos primos elevados a la potencia de 7 son menores que 100. [matemática] 2 ^ 7 = 128 [/ matemática], entonces no hay ninguno.
Por lo tanto, la respuesta es 10.