[matemática] x ^ 2-mx + n = 0 [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 + mx + n = 0 [/ matemática] tiene raíces enteras donde [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ math] son ​​enteros. ¿Cómo demuestras que [matemáticas] n [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 6 [/ matemáticas]?

Answer 1

Esta pregunta no tiene sentido, ya que hay muchos ejemplos (ver otras respuestas) donde n no es divisible por 6.

Sin embargo, creo que la pregunta debería haber sido:

Si x² − mx + n = 0 y x² + mx − n = 0 tienen raíces enteras donde myn son enteros, demuestre que n es divisible por 6.

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Prueba:

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x² − mx + n = 0 ⇒ raíces = a, b ⇒ a + b = m, ab = n

x² + mx − n = 0 ⇒ raíces = c, d ⇒ c + d = −m, cd = −n

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Suponga que n es impar

Como n es impar, entonces n = 1 o −1 (mod 4) y −n = −1 o 1 (mod 4).

Suponga, sin pérdida de generalidad, que n = 1 (mod 4), −n = −1 (mod 4).

Entonces a = b = 1 (mod 4) o a = b = −1 (mod 4) ⇒ m = a + b = 2 o −2 (mod 4)

y c = 1, d = −1 (mod 4) o c = −1, d = 1 (mod 4) ⇒ −m = 0 (mod 4) ⇒ m = 0 (mod 4)

Pero esto es una contradicción (m no puede = (2 o −2) (mod 4) Y = 0 (mod 4))

Entonces, la suposición original (n es impar) debe ser falsa

Por lo tanto, n es divisible por 2

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Suponga que n no es divisible por 3

Como n no es divisible por 3, entonces n = 1 o −1 (mod 3) y −n = −1 o 1 (mod 3).

Suponga, sin pérdida de generalidad, que n = 1 (mod 3), −n = −1 (mod 3).

Entonces a = b = 1 (mod 3) o a = b = −1 (mod 3) ⇒ m = a + b = 2 o −2 (mod 3)

y c = 1, d = −1 (mod 3) o c = −1, d = 1 (mod 3) ⇒ −m = 0 (mod 3) ⇒ m = 0 (mod 3)

Pero esto es una contradicción (m no puede = (2 o −2) (mod 3) Y = 0 (mod 3))

Entonces la suposición original (n no es divisible por 3) debe ser falsa

Por lo tanto, n es divisible por 3

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Como n es divisible por 2 y 3, entonces n es divisible por 6.

Answer 2

Como se dijo, el problema es incorrecto. Ambos polinomios [matemática] x ^ 2–2x + 1 = (x-1) ^ 2 [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 + 2x + 1 = (x + 1) ^ 2 [/ matemática] tienen raíces enteras , mientras que [matemáticas] 6 \ nmid 1 [/ matemáticas] .

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Suponga que [math] m [/ math] , [math] n [/ math] son enteros. Mostramos que si los polinomios [matemática] x ^ 2-mx + n = 0 [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 + mx-n = 0 [/ matemática] solo tienen raíces enteras, entonces [matemática] 6 \ mid n [/ math] .

Los polinomios tienen raíces [math] \ frac {1} {2} \ big (m \ pm \ sqrt {m ^ 2–4n} \ big) [/ math] y [math] \ frac {1} {2} \ big (-m \ pm \ sqrt {m ^ 2 + 4n} \ big). [/ math] Dado que cada una de estas raíces es un número entero, debemos tener que [math] m ^ 2–4n [/ math] y [matemáticas] m ^ 2 + 4n [/ matemáticas] son ​​cuadrados perfectos. Pero luego [matemáticas] 24 \ mid 4n [/ matemáticas] por la respuesta de Amitabha Tripathi a https://www.quora.com/How-to-pro… .

Por lo tanto [matemáticas] 6 \ mid n [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

[matemática] x ^ 2-mx + n = 0 [/ matemática] tiene raíces enteras, entonces [matemática] b ^ 2-4ac \ geq0 [/ matemática]
[matemáticas] \ implica m ^ 2 – 4n \ geq0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica m ^ 2 \ geq4n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica m \ geq 2 \ sqrt {n} [/ matemáticas]

No hay nada que me ayude a probar o refutar el reclamo

Answer 4

No necesariamente. Comprobar raíces = 1,1
x2-mx + n = 0
Dejar raíces = 1,1
Entonces m = 1 + 1 = 2
n = 1 * 1 = 1
Entonces x2-2x + 1 = (x-1) 2 = 0
Por lo tanto, las raíces x = 1,1 satisfacen, pero aún así n = 1 no califica la divisibilidad por 6.

Mala interpretación de Kuch ho gya a bta …

Answer 5

No es cierto en general. Considerar,

(x-4) (x-5) = 0 y (x + 5) (x + 4) = 0 aquí pq = 20 no divisible por 6 mientras que en (x-2) (x-3) = 0 y (x +2) (x + 3) = 0 aquí pq = 6 divisible por 6