¿Existe un método para estimar una función exponencial, digamos [math] f (x) = \ mathrm {e} ^ {- x} [/ math] con [math] x [/ math] como número flotante, usando una secuencia de operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, división y comparación?

Answer 1

Por supuesto que lo hay. Tenga en cuenta primero que

[matemáticas] e ^ x = \ sum_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ i} {i!} [/ matemáticas],

y si [matemática] x <1 [/ matemática], agregando, digamos, los primeros doce términos de esa suma le da más de 8 dígitos de precisión, y para menor [matemática] x [/ matemática] y menor precisión, 4- 5 términos pueden ser suficientes. Entonces divida [math] x [/ math] en su parte entera y fraccionaria: [math] x = [x] + \ {x \} [/ math], de modo que:

[matemáticas] e ^ x = e ^ {[x]} e ^ {\ {x \}} [/ matemáticas].

El producto [math] e ^ {[x]} [/ math] puede calcularse simplemente multiplicando [math] e [/ math] un total de [math] [x] [/ math] número de veces (o, si [matemática] x [/ matemática] es negativa, tome el recíproco.) Para la parte fraccional, simplemente evalúe la suma anterior con la precisión deseada.

A modo de ejemplo, suponga que desea [math] e ^ {2.2} [/ math]. Esto será entonces

[matemática] e ^ {2.2} = {} [/ matemática] [matemática] e ^ 2 \ left (1 + 0.2 + \ frac {0.04} {2} + \ frac {0.008} {6} + \ frac {0.0016 } {24} +… \ right) [/ math] [math] {} \ simeq 7.3892 \ cdot 1.2214 = 9.025. [/ Math]

A modo de comparación, la respuesta de alta precisión es [matemáticas] e ^ {2.2} = 9.02501349943412 … [/ matemáticas]