Por ahora, este debe ser el hábito de un (oh, bueno) viejo programador al que le gusta resolver problemas de la manera más general y abstracta posible para escribir la cantidad mínima de código que resuelve el número máximo de problemas.
Lo que veo aquí es:
[matemáticas] t_ {n + 1} = p \ cdot t_n + q \ tag {1} [/ matemáticas]
donde [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] son números reales constantes ([matemática] C \ equiv q [/ matemática]) y acabamos de cambiar la relación de “actual dada anterior” a “siguiente corriente dada “:
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[matemáticas] p, \; q \ in \ mathbb {R} \ tag {2} [/ math]
[matemáticas] n \ geqslant 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] t_0 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
donde la última condición, aparentemente pedante, es importante, ver abajo.
Preguntamos si existe una función [math] f (x) [/ math] (o simplemente [math] f [/ math] para abreviar de ahora en adelante):
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 0} t_nx ^ n \ tag {3} [/ matemáticas]
de donde son los números reales [math] t_n [/ math] ( 1 )?
Multiplique ambos lados de ( 1 ) por [matemática] x_n [/ matemática] “desde la derecha”:
[matemáticas] t_ {n + 1} x ^ n = p \ cdot t_n x ^ n + qx ^ n \ tag {4} [/ matemáticas]
y sume ambos lados de ( 4 ) sobre todos los valores legales de [math] n [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 0} t_ {n + 1} x ^ n = \ sum_ {n \ geqslant 0} p \ cdot t_n x ^ n + \ sum_ {n \ geqslant 0} qx ^ n \ tag {5} [/ matemáticas]
Como [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son constantes, se pueden llevar a través del signo de suma (sin alterar el resultado)
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 0} t_ {n + 1} x ^ n = p \ cdot \ sum_ {n \ geqslant 0} t_n x ^ n + q \ cdot \ sum_ {n \ geqslant 0} x ^ n \ tag {6} [/ math]
Dos objetos deberían ser inmediatamente reconocibles: nuestra f, esa es la suma en el medio, y la serie geométrica, esa es la suma más a la derecha, dado que [matemáticas] | x | <1 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 0} t_ {n + 1} x ^ n = pf + \ dfrac {q} {1 – x} \ tag {7} [/ matemáticas]
Observe que los coeficientes [matemática] t [/ matemática] en la suma más a la izquierda en ( 7 ) “corren delante del padre”:
[matemáticas] t_1 + t_2x + t_3x ^ 2 + t_4x ^ 3 + t_5x ^ 4 + \ ldots \ tag {8} [/ matemáticas]
¿Lo que falta? ¿Cómo podemos expresar ( 8 ) en términos de ( 3 )?
Deletrear ( 3 ):
[matemáticas] f = t_0 + t_1x + t_2x ^ 2 + t_3x ^ 3 + t_4x ^ 4 + t_5x ^ 5 + \ ldots \ tag * {} [/ matemáticas]
Resta [math] t_0 [/ math] de ambos lados:
[matemáticas] f – t_0 = t_1x + t_2x ^ 2 + t_3x ^ 3 + t_4x ^ 4 + t_5x ^ 5 + \ ldots \ tag * {} [/ matemáticas]
y factorice una copia de [math] x [/ math] de la serie del lado derecho anterior:
[matemáticas] f – t_0 = x (t_1 + t_2x + t_3x ^ 2 + t_4x ^ 3 + t_5x ^ 4 + \ ldots) \ tag * {} [/ math]
y observe que la serie ahora coincide con nuestra suma más a la izquierda en ( 8 ):
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ geqslant 0} t_ {n + 1} x ^ n = \ dfrac {f – t_0} {x} \ tag {9} [/ matemáticas]
Ponga ( 9 ) nuevamente en ([matemáticas] 7 [/ matemáticas]):
[matemáticas] \ dfrac {f – t_0} {x} = pf + \ dfrac {q} {1 – x} \ tag {10} [/ matemáticas]
y resuelve ( 10 ) para [matemáticas] f [/ matemáticas]:
[matemáticas] f = \ dfrac {t_0} {1 – px} + q \ dfrac {x} {(1-px) (1-x)} \ tag {11} [/ matemáticas]
Por inspección manual:
[matemáticas] \ dfrac {p} {1-px} – \ dfrac {1} {1-x} = \ dfrac {p-px-1 + px} {(1-px) (1-x)} = \ etiqueta * {} [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {p-1} {(1-px) (1-x)} \ tag * {} [/ matemáticas]
Por lo tanto, para el segundo término en ( 11 ) tenemos:
[matemáticas] q \ dfrac {x} {(1-px) (1-x)} = \ dfrac {q} {p-1} x \ Big (\ dfrac {p} {1-px} – \ dfrac { 1} {1-x} \ Big) \ tag * {} [/ math]
y ( 11 ) se convierte en:
[matemáticas] f = \ dfrac {t_0} {1 – px} + \ dfrac {q} {p-1} x \ Big (\ dfrac {p} {1-px} – \ dfrac {1} {1-x } \ Big) \ tag * {} [/ math]
Ahora suponemos que:
[matemáticas] t_0 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
que lleva [math] f [/ math] a:
[matemáticas] f = \ dfrac {q} {p-1} x \ Big (\ dfrac {p} {1-px} – \ dfrac {1} {1-x} \ Big) \ tag {12} [/ matemáticas]
Para unir ( 12 ) en la forma de ( 2 ) simplemente sustituimos la serie por cada término:
[matemáticas] \ displaystyle f = \ dfrac {q} {p-1} \ Big (\ sum_ {n \ geqslant 0} p ^ {n + 1} x ^ {n + 1} – \ sum_ {n \ geqslant 0 } x ^ {n + 1} \ Big) \ tag * {} [/ math]
Dado que el factor frente a las sumas es una constante y ambas sumas se ejecutan en el mismo rango de la variable de suma, tenemos para [math] t_n [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle f = \ sum_ {n \ geqslant 0} \ dfrac {q} {p-1} (p ^ {n + 1} – 1) x ^ {n + 1} \ tag * {} [/ matemáticas]
o:
[matemáticas] t_n = \ dfrac {q} {p-1} (p ^ n – 1) \ tag {13} [/ matemáticas]
la respuesta, suponiendo que [math] t_0 \ equiv 0 [/ math].
En su caso solo ponga [math] p = 2 [/ math]:
[matemáticas] t_n = \ dfrac {q} {2-1} (2 ^ n – 1) = C (2 ^ n – 1) \ tag {14} [/ matemáticas]
