[matemáticas] \ text {¿Qué es} \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} – \ sqrt { n} \ right)? [/ math]
Llamaré a esto la pregunta de “cuatro niveles”, porque hay cuatro niveles de anidación de raíces cuadradas. Antes de abordar la pregunta de cuatro niveles, permítame responder una pregunta ligeramente diferente, que es la pregunta de nivel infinito:
[matemáticas] ~ \\\ text {Qué es} \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n +…}}} – \ sqrt {n } \ right)? [/ math]
Deje [math] x = \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n +…}}} [/ math]
- ¿Cómo puedo evaluar [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {x ^ n} e ^ {\ frac {1} {x}} {d} ¿X? [/matemáticas]
- ¿Cómo encuentro [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {x} {\ sin x} [/ math]?
- ¿Es [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ sqrt [n] {\ sin (x)} [/ math] una aproximación adecuada a una onda cuadrada?
- ¿Cuál es el límite n-> infinito de un número negativo a la enésima potencia?
- ¿Puedes explicar integrales usando límites y sumatoria?
Entonces [matemática] x ^ 2 = n + x, [/ matemática], entonces la solución positiva para [matemática] x [/ matemática] es [matemática] \ frac {1} {2} + \ sqrt {n + \ frac {1 } {4}}, [/ math] entonces
[matemáticas] \ quad \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n +…}}} – \ sqrt {n} \ right) \\\ qquad = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {1} {2} + \ sqrt {n + \ frac {1} {4}} – \ sqrt {n} \ right) \\ \ quad \ qquad = \ dfrac {1} {2} [/ math]
[matemáticas] ~ [/ matemáticas]
Ahora, consideremos la pregunta de dos niveles:
[matemáticas] ~ \\\ texto {¿Qué es} \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n}} – \ sqrt {n} \ right) [/ math ]
Multiplicando y dividiendo esta expresión por su conjugado,
[matemáticas] \ qquad \ sqrt {n + \ sqrt {n}} – \ sqrt {n} = \ dfrac {\ sqrt {n}} {\ sqrt {n + \ sqrt {n}} + \ sqrt {n} }[/matemáticas]
Sabemos que [math] \ sqrt {n + \ sqrt {n}} [/ math] está entre [math] \ sqrt {n} [/ math] y [math] \ sqrt {n + \ frac {1} {2}} [/ math] porque [math] \ sqrt {n + \ sqrt {n}} = \ sqrt {n + \ sqrt {n} + \ frac {1} {4} – \ frac {1} {4}} = \ sqrt {(\ sqrt {n} + \ frac {1} {2}) ^ 2- \ frac {1} {4}}, [/ math] entonces
[matemáticas] \ qquad \ dfrac {\ sqrt {n}} {\ sqrt {n + \ frac {1} {2}} + \ sqrt {n}} \ le \ dfrac {\ sqrt {n}} {\ sqrt {n + \ sqrt {n}} + \ sqrt {n}} \ le \ dfrac {\ sqrt {n}} {\ sqrt {n} + \ sqrt {n}} [/ math]
El límite de la primera y la última de estas tres expresiones cuando [math] n [/ math] va al infinito es [math] \ frac {1} {2} [/ math], entonces
[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n}} – \ sqrt {n} \ right) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] ~ [/ matemáticas]
Ahora, ¿qué hemos descubierto hasta ahora? Bastante, en realidad. Encontramos el límite del caso de nivel infinito, y el caso de dos niveles,
[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n +…}}} – \ sqrt {n} \ right) = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n}} – \ sqrt {n} \ right) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
El límite de la pregunta de dos niveles es [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática], y el límite de la pregunta de nivel infinito es [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática] , por lo tanto, según el teorema de compresión, el límite de todo entre estos dos extremos también es [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática]. En particular,
[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n + \ sqrt {n}}}} – \ sqrt {n} \ right ) = \ frac {1} {2}. [/ math]