¿Cuál es el valor de [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {7x \ cos {x} -3 \ sin {x}} {4x + \ tan {x}} [/ math]?

Answer 1

A mucha gente no le gusta la regla de L’Hopital porque parece barata, pero usamos la fórmula cuadrática y no se considera barata.

De todos modos, la sustitución directa produce la forma indeterminada [math] \ frac {0} {0} [/ math], por lo que podemos usar la regla de L’Hopital:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {7 \ cos {x} -7x \ sin {x} -3 \ cos {x}} {4+ \ sec ^ 2 {x}} [/ matemáticas]

Sustitución directa:

[matemáticas] \ frac {7 \ cos {0} -7 (0) \ sin {0} -3 \ cos {0}} {4+ \ sec ^ 2 {0}} = \ frac {7-3} { 4 + 1} = \ frac {4} {5} [/ matemáticas]

La curva roja es [matemática] y = \ frac {7x \ cos {x} -3 \ sin {x}} {4x + \ tan {x}} [/ matemática] y la línea azul es [matemática] y = \ frac {4} {5} [/ matemáticas]:

Answer 2

[matemáticas] \ begin {align} L & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {7x \ cos x-3 \ sin x} {4x + \ tan x} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0 } \ dfrac {7x \ sqrt {1- \ sin ^ 2x} -3 \ sin x} {4x + \ tan x} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {7x \ sqrt {1-x ^ 2} -3x} {4x + x} \ qquad [\ porque \ text {For} x \ approx0, \ sin x \ approx \ tan x \ approx x] \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {7 \ sqrt {1-x ^ 2} -3} {5} \\ & = \ dfrac {7-3} 5 \\ & = \ dfrac45 \ end {align} \ tag * {} [/ math ]

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {7x \ cos {x} -3 \ sin {x}} {4x + \ tan {x}} [/ matemáticas]

Sacar [math] \ cos x [/ math] del numerador y dividir ambos Nr. y Dr. por [matemáticas] x [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ cos x \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {7-3 \ dfrac {\ tan {x}} x} {4+ \ dfrac {\ tan {x}} x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle 1 * \ dfrac {7-3 \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ tan {x}} x} {4+ \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ tan {x}} x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ dfrac {7-3} {4 + 1} [/ matemáticas]

[math] = \ boxed {\ displaystyle \ dfrac {4} {5}} [/ math]