¿Cómo puedo comenzar a estudiar matemáticas puras si soy un estudiante de secundaria con solo conocimientos básicos hasta el cálculo vectorial?

Answer 1

Las matemáticas puras ocurren en todos los niveles, incluidos los que ya has estudiado.

La forma en que se presentaron las matemáticas dejó de lado las partes que las hacen matemáticas puras. Probablemente le dijeron cosas como: aquí se explica cómo resolver una ecuación, y la ecuación de una línea recta tiene la forma de tal y tal. Lo que no le dijeron es por qué esa forma de resolver una ecuación funciona, o por qué esas son las formas de ecuaciones para líneas rectas. El “por qué”, esa es la prueba, es la matemática pura.

Tome el cálculo diferencial, por ejemplo, el tipo que aparece en un texto introductorio. Puede encontrar libros de texto en tres niveles diferentes, al menos.

1. Cálculo aplicado . Le dice intuitivamente que una derivada es una tasa de cambio, enumera un montón de reglas y le brinda ejercicios para calcular derivadas y encontrar máximos y mínimos en las aplicaciones. Hay pocas pruebas, si las hay. No incluye matemática pura, y no esperas que lo haga.
2. Cálculo estándar . Además del concepto intuitivo de derivada, se define formalmente en términos de límites, se discute la definición de límites epsilon-delta, y el libro tiene muchas pruebas, pero los ejercicios no. Se discute el teorema del valor medio, y las propiedades esperadas de máximos y mínimos se prueban usando el teorema del valor intermedio y los teoremas del valor extremo, pero no se prueban. Hay muchos ejercicios computacionales y aplicaciones como las que se encuentran en los textos de cálculo aplicado. En este nivel de cálculo ves algunas pruebas, pero no se espera que crees las tuyas.
3. Cálculo de honores , a veces llamado análisis. Se exponen los axiomas de los números reales y de ellos se prueban los teoremas de valores intermedios y extremos. Estudiarás la continuidad uniforme en el cálculo de honores más adelante en el curso, pero apenas se menciona en el cálculo estándar, si es que lo hace. Se hace más hincapié en los teoremas y las pruebas, y se espera que los estudiantes prueben algunas cosas por su cuenta. Los ejercicios incluyen pruebas, así como cálculos y aplicaciones como en los niveles anteriores.

Una forma de comenzar a estudiar matemáticas puras es tomar un libro de texto en cálculo de honores y concentrarse en las definiciones y pruebas formales.

Answer 2

Recomiendo encarecidamente obtener un libro sobre teoría de números elemental.

Es el tema ideal para comenzar a aprender matemática pura, porque el tema es muy familiar. Todo en teoría de números trata sobre los enteros. Ya sabes lo que es un entero. Entiendes los enteros a un nivel intuitivo. No hay nada exótico en ellos.

Eso te permitirá concentrarte en aprender a escribir y comprender pruebas, en lugar de tratar de concentrarte en nuevos tipos de objetos abstractos. Verá cómo el poder de las pruebas puede ayudarlo a demostrar hechos nuevos y no obvios sobre estas cosas familiares llamadas números. Si se pierde o se confunde al trabajar con símbolos y variables, siempre puede verificar su intuición al conectar algunos números de ejemplo y ver si sus afirmaciones son verdaderas.

Answer 3

Necesitarás un curso intensivo de matemática basada en pruebas. Esto probablemente significa recoger libros en análisis real o álgebra lineal. Cualquiera que sea el libro que recoja, debe desear dominar todos sus contenidos y poder probar la mayoría de los teoremas por sí mismo. Después de eso, debe comenzar a aprender Álgebra abstracta, que esencialmente se ocupa de estructuras algebraicas como anillos, grupos y campos. Tiene algunas ideas bastante críticas y es el lenguaje general de las matemáticas. Debes sentirte cómodo con este material. Luego, después de eso, tienes mucha libertad donde vayas.

Answer 4

Echa un vistazo a los libros en Art of Problem Solving (AoPS). Estos están destinados a estudiantes de secundaria que aman las matemáticas y son buenos en eso. Puede tomar las clases si eso es lo que le gusta, pero podría funcionar mejor que solo lea los libros por su cuenta. Para probar las matemáticas puras, vaya a Geometría, Introducción a la teoría de números e Introducción al conteo y la probabilidad. El conteo intermedio y la probabilidad son los siguientes. Estas son probablemente las cosas que te perdiste (excepto quizás por la geometría) en la carrera hacia el cálculo que constituye el plan de estudios escolar habitual.

Si lo desea, puede encontrar muchas ideas mirando Cómo convertirse en un matemático puro (o estadístico). Pero tiene que descubrir cómo aprende eficazmente para elegir el enfoque correcto. ¿Trabajas bien con los libros o necesitas una clase? ¿Necesita muchos ejemplos, o le va mejor con las abstracciones? ¿Las fotos ayudan? ¿Te gusta trabajar solo o con otros? ¿Tiene paciencia para pasar horas trabajando en problemas difíciles o se apresura a ver la clave de respuestas tan pronto como se atasca? Calcule estas cosas para que pueda ser más específico en sus solicitudes.

Answer 5

El libro de Daniel Solow “Cómo leer y hacer pruebas: una introducción a los procesos de pensamiento matemático” que he escuchado es una buena introducción. Las matemáticas puras en la universidad, creo, generalmente comienzan con un análisis real (demostrando lo que has aprendido en el cálculo) o con la teoría de conjuntos y la topología.

Answer 6

Comienza con Álgebra Lineal y mira cómo te gusta. O
prueba algunas matemáticas de competición (AMC, AIME, USAMO)