¿Cuál es el valor positivo (integral) más pequeño de [matemáticas] x, 100x [/ matemáticas] [matemáticas] ^ {2} <[/ matemáticas] [matemáticas] 2 ^ {x} [/ matemáticas] y cómo resuelvo tales preguntas?

Answer 1

Todos deberían saber que [matemáticas] 2 ^ {10} [/ matemáticas] es aproximadamente mil, y por lo tanto [matemáticas] 2 ^ {20} [/ matemáticas] es aproximadamente un millón y [matemáticas] 2 ^ {30} [/ matemáticas] es de aproximadamente mil millones. Dado que mil millones ya son mucho más que [matemáticas] 100 \ veces 30 ^ 2 [/ matemáticas], sabemos que el número que buscamos es menor que treinta, por lo que podemos relajarnos. Este no es un problema difícil.

Eso fue lo primero que hice cuando vi esto. Luego volví a [matemáticas] 20 [/ matemáticas], y [matemáticas] 2 ^ {20} [/ matemáticas] sigue ganando fácilmente (un millón frente a [matemáticas] 40 \, 000 [/ matemáticas]), mientras que [ matemáticas] 2 ^ {10} [/ matemáticas] pierde igual de fácil (mil frente a diez mil).

Ahora sé que necesito exceder [matemática] 10 \, 000 [/ matemática], que ocurre en [matemática] x = 14 [/ matemática] donde [matemática] 2 ^ x [/ matemática] es aproximadamente [matemática] 16 \, 000 [/ math] mientras que [math] 100x ^ 2 [/ math] es [math] 19 \, 600 [/ math]. Estamos muy cerca ahora, y de hecho, [matemáticas] 2 ^ {15} [/ matemáticas] ha terminado [matemáticas] 32 \, 000 [/ matemáticas] mientras que [matemáticas] 100 \ veces 15 ^ 2 [/ matemáticas] es solo [matemáticas] 22 \, 500 [/ matemáticas].

Así que ahí tienes: [matemáticas] x = 15 [/ matemáticas]. No hay necesidad de una calculadora.

La forma de resolver estas preguntas es que se sienta cómodo con los órdenes de magnitud, los poderes de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y la intuición sobre la tasa de crecimiento de las funciones. [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] crece mucho más rápido que cualquier polinomio, por lo que tan pronto como tenga una idea aproximada de la respuesta, es poco probable que sea un asunto demasiado sutil.

Las ecuaciones que mezclan expresiones exponenciales y polinomios rara vez tienen soluciones analíticas simples, y la función Lambert W no es algo que muchos de nosotros nos sentimos cómodos al estimar o manipular. Por lo tanto, rara vez es una buena idea tratar de resolver dicha pregunta utilizando registros y reorganizando.

Answer 2

Aquí hay otro enfoque para la exageración.

Para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas] , tenemos

[matemáticas] 100x ^ 2 = 2 ^ x \ \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] 10x = 2 ^ {\ frac x2} \ \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] 10x = \ exp \ left (\ frac {\ ln 2} 2x \ right) \ \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] 10x \ exp \ left (- \ frac {\ ln 2} 2x \ right) = 1 \ \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {\ ln 2} 2x \ exp \ left (- \ frac {\ ln 2} 2x \ right) = – \ frac {\ ln 2} {20} \ \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {\ ln 2} 2x = W \ izquierda (- \ frac {\ ln 2} {20} \ derecha) \ \ implica [/ matemáticas]

[matemática] x = – \ frac 2 {\ ln 2} W \ izquierda (- \ frac {\ ln 2} {20} \ derecha) [/ matemática]

Aquí [math] W [/ math] es la función Lambert W. Para argumentos en el intervalo [math] (- \ exp (-1), 0) [/ math], tiene un valor doble. Ese es el caso aquí, por lo que esperamos dos soluciones positivas. Los dan las primeras ramas cero y negativas del Lambert W.

[matemáticas] x = – \ frac 2 {\ ln 2} W_0 \ left (- \ frac {\ ln 2} {20} \ right) \ aprox 0.1036578164 [/ math]

[matemática] x = – \ frac 2 {\ ln 2} W _ {- 1} \ izquierda (- \ frac {\ ln 2} {20} \ derecha) \ aprox 14.3247278369982 [/ matemática]

Para [matemáticas] x <0 [/ matemáticas] , tenemos

[matemáticas] 100x ^ 2 = 2 ^ x \ \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] -10x = 2 ^ {\ frac x2} \ \ implica [/ matemáticas]

[matemática] -10x = \ exp \ left (\ frac {\ ln 2} 2x \ right) \ \ implica [/ math]

[matemáticas] -10x \ exp \ left (- \ frac {\ ln 2} 2x \ right) = 1 \ \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {\ ln 2} 2x \ exp \ left (- \ frac {\ ln 2} 2x \ right) = \ frac {\ ln 2} {20} \ \ implica [/ math]

[matemáticas] – \ frac {\ ln 2} 2x = W \ izquierda (\ frac {\ ln 2} {20} \ derecha) \ \ implica [/ matemáticas]

[matemática] x = – \ frac 2 {\ ln 2} W \ izquierda (\ frac {\ ln 2} {20} \ derecha) [/ matemática]

Ahora, solo la rama zeroth tiene un valor real ya que el argumento de Lambert W es positivo.

[matemáticas] x = – \ frac 2 {\ ln 2} W_0 \ left (\ frac {\ ln 2} {20} \ right) \ aprox -0.096704 [/ math]

Conclusión

Vemos que la función [matemática] f (x) = 2 ^ x-100x ^ 2 [/ matemática] es continua y solo tiene los tres ceros que ahora se han encontrado. Está claro que como [math] x \ to \ infty [/ math], [math] f (x) \ to \ infty [/ math] y que como [math] x \ to [/ math] – [math] \ infty [/ math], [math] f (x) \ to [/ math] – [math] \ infty [/ math]. También [math] f (0) = 1> 0 [/ math] y [math] f (1) = – 98 <0 [/ math]. Por lo tanto, debe ser que la desigualdad solo se cumple en los intervalos [matemáticas] \ left (- \ frac 2 {\ ln 2} W_0 \ left (\ frac {\ ln 2} {20} \ right), - \ frac 2 { \ ln 2} W_0 \ left (- \ frac {\ ln 2} {20} \ right) \ right) \ approx (-0.097, 0.104) [/ math] y [math] \ left (- \ frac 2 {\ En 2} W _ {- 1} \ left (- \ frac {\ ln 2} {20} \ right), \ infty \ right) \ approx (14.324, \ infty) [/ math]. Como el intervalo más pequeño contiene solo el entero cero que no es positivo, el entero positivo más pequeño debe ser 15 .

Obviamente, este enfoque no es la solución más simple. Pero si desea ver cómo se pueden analizar este tipo de problemas para obtener soluciones exactas, puede ser informativo.