Respuesta corta: No. Ciertamente no sin matar al humano
Respuesta larga: este es un problema bastante sencillo en el movimiento de proyectiles:
Diseñaré el hipotético trebuchet para condiciones ideales, es decir, no hay resistencia debido a la atmósfera. Este es el mejor de los casos; las cosas solo van cuesta abajo desde aquí.
Requisitos de trebuchet: ser humano de 1600 metros (creo que mejor en el sistema métrico)
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Sección 1: Velocidad
La trayectoria de cualquier objeto bajo la influencia de la gravedad sola (sin arrastre de aire) es una parábola. Esta parábola está determinada únicamente por la velocidad de lanzamiento y el ángulo en el que se lanza la persona. Tal trayectoria se ve así: 
V_ (lanzamiento) es la velocidad del proyectil (persona) en el lanzamiento
\ (alfa) es el ángulo en el que se lanza el proyectil (persona)
h_ (max) es la altura máxima que alcanza el proyectil (persona)
d es la distancia que recorre la persona
h_ (max) yd están dados por las relaciones:
En nuestro caso particular, d = 1600m. Para obtener el valor más bajo posible (más eficiente) de V_ (lanzamiento) , el ángulo \ ( alfa) debe ser de 45 grados.
poniendo eso para obtener el valor mínimo de V_ (lanzamiento) obtenemos:
Ahora, no es esta velocidad per se lo que es un problema. De hecho, Felix Baumgartner superó esa velocidad en su salto récord.
El problema es alcanzar esta velocidad con un dispositivo mecánico sin matar al humano en cuestión. Elaboraré:
Sección 2: Aceleración
Para que nuestro humano alcance los 126 m / s necesarios para viajar una milla, tenemos que acelerarlo desde el reposo (Velocidad = 0).
Usar una aceleración uniforme será la forma más suave posible de lanzar a la persona. Vamos a suponer que el trebuchet es, de hecho, una rampa en ángulo de 45 grados, y el humano se acelera a lo largo de esta rampa a una aceleración constante (que decidimos) y lo soltamos una vez que alcanza 126 m / s (piense en una catapulta en un portaaviones). 
Si aceleramos a la persona a un ritmo constante, la distancia que la persona tiene que viajar viene dada por 
Ahora conectemos algunos valores:
V_ (lanzamiento) ^ (2) = 16000 m ^ 2 / s ^ 2
Seamos realmente gentiles al principio. Aceleramos a la persona a lo largo de la rampa a 1 g = 10 m / s ^ 2 . Esta es aproximadamente la aceleración que sentirás en una montaña rusa típica
La altura de este trebuchet idealizado es, ¡esperen 565 metros! Para comparacion: 
Recuerde, dado que estamos acelerando a la persona a una aceleración uniforme, esta es la mejor altura de caso. Si queremos tener un trebuchet real mientras limitamos la aceleración máxima a 10 m / s ^ 2, este trebuchet será aún más alto.
De acuerdo, eso no va a funcionar. Pongámonos un poco serios. Vamos a lanzar a la persona a 5 g , o 50 m / s ^ 2 . Usando este valor de aceleración, nuestro trebuchet tiene 113 metros de altura. Ese es un edificio de 30 pisos.
Tenga en cuenta que estas son las aceleraciones que enfrentan los pilotos de combate, y a menos que realmente entrene para estas aceleraciones, ciertamente se desmayará debido a la hipoxia cerebral (no es un gran estado para operar un paracaídas).
¿Qué pasa si queremos especificar la altura de este trebuchet? Poniéndolo a un valor razonable de 30 metros , obtenemos una aceleración de 19 g . Eso ciertamente causará pérdida de conciencia en una persona y muerte al impactar con el suelo 18 segundos después.
En conclusión, cualquier diseño de dimensiones razonables matará a la persona involucrada. Puedes dejar de leer aquí.
Pero, ¿qué pasa con el arrastre aéreo?
Ahora las cosas se complican (y son malas para nuestro temerario). Podríamos aplicar modelos para aproximar la reducción en el rango debido al arrastre de un humano volador. Pero te ahorraré los detalles. Asumiremos que en presencia de resistencia al aire, la persona viajará al 10% de la distancia que viajaría, si no hubiera resistencia al aire. Esta es una suposición muy liberal; los humanos no son proyectiles muy eficientes.
Para alcanzar una distancia de 1600m en presencia de arrastre aéreo, tendremos que disparar durante 16 km . Revisando la ecuación para V_ (lanzamiento) , obtenemos un valor de 400m / s . Como Quora User señaló correctamente, esto es supersónico. La persona involucrada se calentaría a una temperatura de 115 grados Celsius en vuelo.
Además, ¿mencioné que necesita una rampa de 1130 metros de altura para lanzar a dicha persona con una aceleración de 5 g . Para hacerlo en una altura más razonable de 30 metros, el trebuchet lanzaría a la persona a 188 g (persona = pulpa), ¡lo que requeriría 60 megavatios de potencia en su punto máximo!
Buena suerte.