¿Puedes evaluar la raíz cuadrada de 12 usando el método Newton Raphson?

Answer 1

Para encontrar una solución a la ecuación [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] usando el método Newton-Raphson, comience con una suposición inicial (digamos, [matemática] x_0 [/ matemática]), y luego calcule

[matemáticas] x_1 = x_0- \ dfrac {f (x_0)} {f ‘(x_0)}, x_2 = x_1- \ dfrac {f (x_1)} {f’ (x_1)}, \ dots \ tag * {} [/matemáticas]

Cuando este método funciona, converge a una raíz. (Consulte el método de Newton – Wikipedia para ver cómo puede fallar).

En este caso, buscamos la solución positiva para [matemática] x ^ 2-12 = 0 [/ matemática], entonces con [matemática] f (x) = x ^ 2-12 [/ matemática], calcularemos

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n- \ dfrac {x_n ^ 2-12} {2x_n} = \ dfrac {x_n ^ 2 + 12} {2x_n} \ tag * {} [/ matemáticas]

Si comenzamos con una estimación razonablemente buena de [math] \ sqrt {12} [/ math], esto nos llevará a [math] \ sqrt {12} [/ math] con bastante rapidez. Por ejemplo, si consideramos que [math] x_0 [/ math] es cualquier número entre 3 y 4, tendremos más de 10 dígitos de precisión a más tardar [math] x_4 [/ math]. (Este método a menudo puede superar las primeras conjeturas erróneas con bastante rapidez; con [math] x_0 = 100 [/ math], todavía tenemos más de 10 dígitos de precisión comenzando con [math] x_9 [/ math]).

Vale la pena señalar que, si bien Newton-Raphson es una técnica (relativamente) moderna para resolver ecuaciones, este enfoque para encontrar raíces cuadradas ha existido desde ~ 1700 a. C. (Vea esta respuesta de más de 20 años en el Foro de Matemáticas). Se conoce como el método de “dividir y promediar”, debido a esta observación:

• Si [math] x_0 [/ math] es demasiado pequeño (es decir, más pequeño que [math] \ sqrt {12} [/ math]), entonces [math] \ frac {12} {x_0} [/ math] es demasiado grande .
• Por otro lado, si [math] x_0 [/ math] es demasiado grande, entonces [math] \ frac {12} {x_0} [/ math] es demasiado pequeño.
• Por lo tanto, las dos estimaciones [matemática] x_0 [/ matemática] y [matemática] \ frac {12} {x_0} [/ matemática] son ​​una estimación excesiva y una estimación inferior . En tal situación, generalmente podemos obtener una mejor estimación promediando . Por lo tanto, nuestra estimación revisada debe ser
• [matemáticas] x_ {1} = \ dfrac12 \ left (x_0 + \ dfrac {12} {x_0} \ right) [/ math]
• (que, por supuesto, es equivalente a la expresión anterior).

¿Puedes evaluar la raíz cuadrada de 12 usando el método Newton Raphson?

Answer 2

Cosa segura.

Podemos decir que [math] \ sqrt {12} [/ math] es una de las raíces de la función [math] f (x) = x ^ 2 – 12 [/ math], siendo la otra [math] – \ sqrt {12} [/ math] Usando el método Newton-Rhapson, es posible obtener una buena aproximación al valor de esa raíz.

Primero haré una suposición: [math] \ sqrt {16} [/ math] es 4, así que comenzaré con [math] x_0 = 4 [/ math] y disminuiré ese valor hasta llegar a la respuesta real , que debe ser algo de 3 puntos .

Para lograr eso, haré:

[matemáticas] x_1 = x_0 – \ dfrac {f (x_0)} {f ‘(x_0)} [/ matemáticas]

Derivando la función descrita anteriormente, será:

[matemáticas] x_1 = x_0 – \ dfrac {x_0 ^ 2 – 12} {2x_0} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 = \ dfrac {x_0 ^ 2 + 12} {2x_0} [/ matemáticas]

Entonces haces ese proceso para obtener una aproximación más cercana, y lo vuelves a hacer con esa aproximación para obtener una mejor aproximación, y lo haces una y otra vez …

O haces que Python lo haga por ti y, después de aproximadamente 100 (por qué no) iteraciones, obtienes:

[matemáticas] \ sqrt {12} \ aprox 3.46410161513775 [/ matemáticas]

Answer 3

Tome la función [matemática] f (x) = x ^ 2-12 [/ matemática], que tiene dos ceros en [matemática] | \ sqrt {12} | \ {1, -1 \} [/ matemática].

La línea tangente a [matemática] f [/ matemática] en [matemática] t [/ matemática] viene dada por la ecuación [matemática] l_ {f (t)} (x) = f (t) + (xt) f ‘ (t) [/ math], en este caso

[matemáticas] l_ {t ^ 2-12} (x) = t ^ 2-12 + 2t (xt) [/ matemáticas]

Esta línea se cruza con el eje [matemática] x [/ matemática] cuando [matemática] x = t + \ frac {12-t ^ 2} {2t} [/ matemática]

Si tomamos la secuencia [matemáticas] x_ {n + 1} = x_ {n} + \ frac {12-x_ {n} ^ 2} {2x_n} [/ matemáticas]

con una [matemática] x_0 [/ matemática] elegida cerca de una raíz de [matemática] f [/ matemática], entonces la secuencia (generalmente) convergerá a esa raíz (o alguna otra cercana).

Elija [math] x_0 = 3 [/ math], para que

[matemáticas] x_1 = 3 + \ frac {12-9} {6} = 3 + 1/2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = (3 + 1/2) + \ frac {12-9-3-1 / 4} {7} = 3 + 1 / 2-1 / 28 = 3 + 13/28 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = (3 + 13/28) + \ frac {12-9-39 / 14-169 / 784} {7-1 / 14} [/ matemáticas]

Eso es lo más lejos que quiero llegar, y ni siquiera quiero sumarlos.

Me gusta [matemáticas] 3 + 13/28 [/ matemáticas].

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Alternativamente, podríamos usar el método de fracción continua:

Si [matemáticas] x ^ 2-12 = 0 [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] x ^ 2-9 = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 3 + \ frac {3} {3 + x} [/ matemáticas]

O dividiendo entre [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y estableciendo [matemáticas] z = x / 3 [/ matemáticas],

[matemáticas] z = 1 + \ frac {1} {3 + 3z} [/ matemáticas]

Entonces encontramos

[matemáticas] z = 1 + \ frac {1} {6+ \ frac {1} {1 + z}} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = 1 + \ frac {1} {6+ \ frac {1} {2+ \ frac {1} {6+ \ frac {1} {1 + z}}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = 1 + \ frac {1} {6+ \ frac {1} {2+ \ frac {1} {6+ \ frac {1} {2+ \ frac {1} {6+ \ frac { 1} {2+ \ frac {1} {6+ \ frac {1} {1 + z}}}}}}}} [/ matemáticas]

y así. En otras palabras, [math] \ sqrt {12} = 3 \ cdot [1; 6,2,6,2,6,2, \ cdots] [/ math]