Encuentra el número de todos los números de 5 dígitos, cada uno de los cuales contiene el bloque 15 y es divisible por 15 (por ejemplo: 31545, 41315 son dos de esos números).

Answer 1

La respuesta es 479.

Un número es divisible por 15 si es divisible por 3 y 5. Hay 4 casos (wrt la posición del bloque 15)

CASO 1: El número tiene la forma _ _ _ 15

Cualquier número de este tipo es divisible por 5. Para hacerlo divisible por 3, los primeros 3 dígitos deben formar un número divisible por 3. Los números son 102, 105, …, 999. Hay 300 de esos números.

CASO 2: El número tiene la forma 15 _ _ _

Para hacer que los números de este caso sean divisibles por 15, es necesario y suficiente que los números formados por los últimos 3 dígitos sean divisibles por 15. Hay 67 de esos números (000, 015,…, 990)

CASO 3: Los números tienen la forma _15_ _

Para hacer que tales números sean divisibles por 5 hay 2 sub-casos

A) el dígito de las unidades es 0

Para que dichos números sean divisibles por 3, los números de 2 dígitos formados por los dígitos restantes deben ser divisibles por 3. Hay 30 de esos números. (12, 15, …, 99)

B) el dígito de las unidades es 5

Para hacer que dichos números sean divisibles por 3, los números de 2 dígitos formados por los dígitos restantes deben dejar un resto 1 cuando se dividen entre 3. Hay 30 de esos números (10, 13, …, 97)

Por lo tanto, los números totales en este caso son 30 + 30 = 60

CASO 4: Los números tienen la forma _ _ 15_

Este caso es similar al anterior y tiene 60 números.

Entonces los números totales son 300 + 67 + 60 + 60 = 487

Pero hay un doble conteo porque podemos tener 2 bloques de 15.

1) 1515_

15150 es un número que se cuenta en los casos 2 y 4

2) 15_15

Hay 4 números (poner 0, 3, 6,9 en el espacio en blanco) que se cuentan en los casos 1 y 2

3) _1515

Hay 3 números (poner 3,6,9 en el espacio en blanco) que se cuentan en los casos 1 y 3

Por lo tanto, 8 números se cuentan dos veces. Entonces los números válidos totales son 487-8 = 479.

Answer 2

Si el número es divisible por 15, debe ser divisible por 5, por lo que el último dígito debe ser 0 o 5.

Consideremos el último dígito 0 ahora:
XXXX0
Hay 3 formas en que 15 pueden ocurrir aquí.
15XX0 o X15X0 o XX15.
15XX0 tiene 34 posibilidades, incluyendo 15150
X15X0 tiene 30 posibilidades
XX150 tiene 30 posibilidades, incluyendo 15150
Entonces total es 34 + 30 + 30-1 = 93

Consideremos el último dígito 5 ahora:
XXXX5
Hay 4 formas en que 15 pueden ocurrir aquí.
XXX15 o XX155 o X15X5 o 15XX5
XXX15 tiene 300 posibilidades, incluidas 15X15 (4 vías) y X1515 (3 vías)
XX155 tiene 30 posibilidades
X15X5 tiene 30 posibilidades
15XX5 tiene 33 posibilidades
Entonces total es 300 + 30 + 30 + 33-4-3 = 386

Total final = 93 + 386 = 479