Cada entero positivo [math] n [/ math] mayor que [math] 1 [/ math] tiene una representación única como producto de primos :
[math] n = \ displaystyle \ prod _ {{\ text prime} \: p} p ^ {\ alpha} [/ math].
Deje que [math] e_p (n) [/ math] denote el poder más alto de [math] p [/ math] que divide [math] n [/ math]; entonces [matemática] e_p (n) = \ alpha [/ matemática] significa [matemática] p ^ {\ alpha} \ mid n [/ matemática] y [matemática] p ^ {\ alpha + 1} \ nmid n [/ matemática ]
Arregle un número entero positivo [matemática] k [/ matemática] en el resto de esta prueba.
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Si [math] k \ mid e_p (n) [/ math] para cada primo [math] p [/ math], entonces [math] \ sqrt [k] {n} = \ displaystyle \ prod _ {{\ text prime} \: p} p ^ {\ alpha / k} \ in \ mathbb N [/ math].
Afirmamos que [math] \ sqrt [k] {n} \ notin \ mathbb Q [/ math] si existe un primo [math] p [/ math] para el cual [math] k \ nmid e_p (n) [/ matemáticas].
Suponga que [math] \ sqrt [k] {n} \ in \ mathbb Q [/ math], y escriba [math] \ sqrt [k] {n} = \ frac {a} {b} [/ math], donde [matemática] a [/ matemática], [matemática] b \ in \ mathbb N [/ matemática] y [matemática] \ gcd (a, b) = 1 [/ matemática]. Elevar ambos lados a la potencia [matemática] k [/ matemática] y multiplicar por [matemática] b ^ k [/ matemática] da [matemática] a ^ k = n \ cdot b ^ k [/ matemática]. Por lo tanto, [math] e_p (a ^ k) = e_p (n) + e_p (b ^ k) [/ math] para cada primo [math] p [/ math]. Pero esto es claramente violado por cualquier primo [math] p [/ math] para el cual [math] k \ nmid e_p (n) [/ math], ya que [math] e_p (a ^ k) = k \ cdot e_p (a ) [/ math] y [math] e_p (b ^ k) = k \ cdot e_p (b) [/ math] implica [math] k \ mid e_p (n) [/ math].
Esta contradicción demuestra que [math] \ sqrt [k] {n} \ notin \ mathbb Q [/ math]. El caso [math] n = 1 [/ math] se elimina fácilmente.
Ver también la respuesta de Amitabha Tripathi a ¿Son irracionales las raíces cuadradas de todos los números primos?