Cómo resolver 2 ^ (n-1) = (n ^ 4-6n ^ 3 + 23n ^ 2-18n + 24) / 24 analíticamente

Answer 1

Ok, entonces puedo mostrarte por qué n = 1, 2, 3, 4, 5 exactamente, pero dudo en llamarlo una solución. La única razón por la que sé cómo hacer esto es porque ya sé cómo resolver el problema de la División Circle. Entonces se siente un poco como retroceder, pero tal vez lo encuentres más satisfactorio que yo.

Entonces, para comenzar, separemos el RHS en tres grupos de sumas.

[matemáticas] 2 ^ {n-1} = \ frac {n ^ 4 – 6n ^ 3 + 11n ^ 2 – 6n} {24} + \ frac {12n ^ 2 – 12n} {24} + \ frac {24} {24} [/ matemáticas]

Ok, ahora podemos simplificar y factorizar el RHS

[matemáticas] 2 ^ {n-1} = \ frac {n (n-1) (n-2) (n-3)} {4 * 3 * 2 * 1} + \ frac {n (n-1) } {2 * 1} + 1 [/ matemáticas]

Si está familiarizado con los coeficientes binomiales, estas sumas deberían sobresalirle. Si no está familiarizado con los coeficientes binomiales, debe familiarizarse antes de continuar. En particular, observe cómo se relacionan con el triángulo de Pascal. Coeficiente binomial – Wikipedia

[matemáticas] 2 ^ {n-1} = \, ^ nC_4 + \, ^ nC_2 + \, ^ nC_0 [/ matemáticas]

Ahora hay un buen teorema sobre coeficientes binomiales que dice [matemáticas] ^ nC_k = \, ^ {n-1} C_k + \, ^ {n-1} C_ {k-1}. [/ Matemáticas] Usaremos este teorema tres veces, señalando que [matemáticas] ^ {n-1} C _ {- 1} = 0 [/ matemáticas].

[matemáticas] 2 ^ {n-1} = \, ^ {n-1} C_4 + \, ^ {n-1} C_3 + \, ^ {n-1} C_2 + \, ^ {n-1} C_1 + \, ^ {n-1} C_0 [/ matemáticas]

Dos teoremas más sobre coeficientes binomiales:

1. [matemática] ^ mC_k = 0 [/ matemática] if [matemática] k \ gt m [/ matemática]
2. [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ m \, ^ mC_k = 2 ^ m [/ matemáticas]

El primero dice que podemos agregar coeficientes binomiales adicionales siempre que k> m, y el segundo dice que la suma de toda la fila [matemática] n ^ {th} [/ matemática] del Triángulo de Pascal es [matemática] 2 ^ n [/matemáticas]. Estos dos juntos muestran que mientras [math] n-1 \ in \ {0,1,2,3,4 \} [/ math] tengamos una solución. En otras palabras [math] n \ in \ {1,2,3,4,5 \} [/ math] Cualquier n más grande pierde algunos de los coeficientes binomiales necesarios para llegar a [math] 2 ^ {n-1} [ /matemáticas].

Answer 2

No creo que pueda obtener este analíticamente utilizando las operaciones habituales. Es posible que avance con la función Lambert W, también conocida como el registro del producto.

Es fácil ver cómo se construyó. Encuentre un polinomio para que [matemática] f (1) = 1, [/ matemática] [matemática] f (2) = 2, [/ matemática] [matemática] f (3) = 4, [/ matemática] [matemática] f (4) = 8 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (5) = 16. [/ matemáticas] Un polinomio de cuarto grado tiene cinco grados de libertad, por lo que se determina de forma única.

[matemáticas] f (x) = ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = a + b + c + d + e [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 = 16a + 8b + 4c + 2d + e [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 = 81a + 27b + 9c + 3d + e [/ matemáticas]

[matemáticas] 8 = 256a + 64b + 16c + 4d + e [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 = 625a + 125b + 25c + 5d + e [/ matemáticas]

Es un sistema lineal, cinco ecuaciones en cinco incógnitas, que Alpha o cualquier cantidad de programas de computadora pueden resolver:

Ese es el polinomio; Tienes que convertir todo en 24ths.

Como no puedo responder la pregunta realmente, hagamos algo más. Hice algunos cálculos para estudiantes de secundaria que quizás no sorprendentemente no hayan atraído demasiados puntos de vista. La idea básica se le dio [matemática] f (x) [/ matemática] usted trabaja [matemática] f (x + y) [/ matemática] y luego la sustituye para obtener [matemática] f (x) = f (r + ( xr)) [/ math] que nos dice acerca de [math] f (x) [/ math] en la vecindad de [math] x = r. [/ math] Probemos aquí:

[matemáticas] f (x) = ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e [/ matemáticas]

Queremos [matemáticas] f (x + y). [/ Matemáticas] Podemos usar el Triángulo de Pascal para anotar

[matemáticas] e = e [/ matemáticas]

[matemáticas] d (x + y) = dx + dy [/ matemáticas]

[matemáticas] c (x + y) ^ 2 = cx ^ 2 + 2cxy + cy ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] b (x + y) ^ 3 = bx ^ 3 + 3bx ^ 2 y + 3bxy ^ 2 + por ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] a (x + y) ^ 4 = ax ^ 4 + 4ax ^ 3 y + 6 ax ^ 2 y ^ 2 + 4 ax y ^ 3 + ay ^ 4 [/ matemática]

Ahora escribamos [math] f (x + y) [/ math] como un polinomio con poderes crecientes de [math] y. [/ Math]

[matemáticas] f (x + y) = ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e + [/ matemáticas]

[matemática] \ quad \ quad (4ax ^ 3 + 3bx ^ 2 + 2cx + d) y + [/ math]

[matemáticas] \ quad \ quad (6ax ^ 2 + 3bx + c) y ^ 2 + [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad (4ax + b) y ^ 3 + [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad ay ^ 4 [/ matemáticas]

Los observadores astutos reconocerán la constante o [matemática] y ^ 0 [/ matemática] como el valor de [matemática] f (x) [/ matemática] y el coeficiente [matemática] y ^ 1 [/ matemática] como la derivada [ matemáticas] f ‘(x). [/ matemáticas] Por desgracia, los coeficientes posteriores no son las derivadas de orden superior; sin embargo, están muy simplemente relacionados con ellos; llamémoslos subderivados.

Ahora sustituyamos [matemática] x = r, y = xr [/ matemática] para obtener [matemática] f (r + (xr)) = f (x) [/ matemática] alrededor de [matemática] r. [/ Matemática]

[matemáticas] f (x) = f (r) + [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad (4ar ^ 3 + 3br ^ 2 + 2cr + d) (xr) + [/ math]

[matemáticas] \ quad \ quad (6ar ^ 2 + 3br + c) (xr) ^ 2 + [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad (4ar + b) (xr) ^ 3 + [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad a (xr) ^ 4 [/ matemáticas]

Ese es el caso general. Para nosotros, pasemos el 24 al otro lado y trabajemos con [matemáticas] a = 1, b = -6, c = 23, d = -18, e = 24 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = f (r) + [/ matemáticas]

[matemática] \ quad \ quad (4r ^ 3-18 r ^ 2 + 46 r – 18) (xr) + [/ matemática]

[matemáticas] \ quad \ quad (6r ^ 2-18 r + 23) (xr) ^ 2 + [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad (4 r – 6) (xr) ^ 3 + [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad (xr) ^ 4 [/ matemáticas]

Así que ahora [matemáticas] f (x) = 24 \ veces 2 ^ {x-1} [/ matemáticas] para nuestros cinco puntos, para cualquier [matemáticas] r [/ matemáticas].

Al detenerse en varias potencias de [math] (xr) [/ math] obtenemos el valor (grado cero), línea tangente (primer grado), tangente cónico (segundo grado), tangente cúbico (tercer grado) o el cuarto grado original polinomio. Tracemos la línea tangente en [matemática] x = 3 [/ matemática], la cónica tangente en [matemática] x = 2, [/ matemática] y la tangente cúbica en [matemática] x = 1. [/ Matemática] Simplemente establecer [matemáticas] r [/ matemáticas] en consecuencia:

Línea tangente en [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]: [matemáticas] y = f (3) + (4 (3) ^ 3 -18 (3) ^ 2 + 46 (3) – 18) (x-3 ) = 24 (4) +66 (x-3). [/ Math] No tiene mucho sentido resolverlo mucho más; deja que alfa lo haga.

Cónica tangente en [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]: [matemáticas] y = f (2) + (32-18 (4) + 46 (2) – 18) (x-2) + (24-36 + 23) (x-2) ^ 2 = 48 + 34 (x-2) +11 (x-2) ^ 2 [/ matemáticas]

Tangente cúbico en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]: [matemáticas] y = f (1) + (4-18 + 46-18) (x-1) + (6-18 + 23) (x-1 ) ^ 2 + (4-6) (x-1) ^ 3 [/ matemáticas] [matemáticas] = 24 + 14 (x-1) + 11 (x-1) ^ 2 -2 (x-1) ^ 3 [/matemáticas]

No pude lograr que Alpha incluyera el cúbico. Pero hicimos líneas tangentes, cónicas tangentes y cúbicos tangenciales, más de lo que harías en un curso universitario, con solo matemáticas de la escuela intermedia [matemáticas] f (x + y). [/ Matemáticas]