Cómo probar [matemáticas] 2 \ sqrt {n} – \ sqrt {n + 1} – \ sqrt {n-1} \ approx \ frac {1} {4n \ sqrt {n}} [/ matemáticas]

Answer 1

Es posible evitar expansiones binomiales.

Déjanos notar que

[matemática] \ sqrt {n + 1} – \ sqrt {n} \ aprox \ frac {1} {2 \ sqrt {n}} [/ matemática]

En cierto sentido, es una analogía discreta de la derivada de la raíz cuadrada [matemáticas] \ sqrt {x} ‘= \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ matemáticas]. Se sigue directamente del teorema del valor medio: existe [matemática] c \ in (x, x + 1) [/ matemática] tal que:

[matemáticas] \ frac {\ sqrt {x + 1} – \ sqrt {x}} {x + 1-x} = \ sqrt {x + 1} – \ sqrt {x} = \ frac {1} {2 \ sqrt {c}} [/ math]

Cada vez que [math] x [/ math] tiende al infinito, [math] c [/ math] también funciona y como sigue la desigualdad

[matemáticas] \ frac {1} {2 \ sqrt {x + 1}} \ leqslant \ sqrt {x + 1} – \ sqrt {x} \ leqslant \ frac {1} {2x} [/ math]

obtenemos nuestro resultado, que establece

[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ sqrt {x + 1} – \ sqrt {x}} {\ frac {1} {2x}} = 1 [/ matemáticas]

Aplicando el mismo método una vez más terminamos la prueba.

Answer 2

[matemáticas] 2 \ sqrt {n} – \ sqrt {n + 1} – \ sqrt {n-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ sqrt {n} – \ sqrt {n} (\ sqrt {1 + \ frac {1} {n}} + \ sqrt {1 – \ frac {1} {n}}) [/ math ]

[matemáticas] = 2 \ sqrt {n} – \ sqrt {n} [(1 + \ frac {1} {n}) ^ {\ frac12} + (1 – \ frac {1} {n}) ^ {\ frac12}] [/ math]

Use los primeros 3 términos de una expansión binomial aquí:

[matemáticas] \ aprox. 2 \ sqrt {n} – \ sqrt {n} [(1 + \ frac {1} {2n} – \ frac {1} {8n ^ 2}) + (1 – \ frac {1} {2n} – \ frac {1} {8n ^ 2})] [/ math]

[matemáticas] = 2 \ sqrt {n} – \ sqrt {n} (2 – \ frac {1} {4n ^ 2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ sqrt {n}} {4n ^ 2} = \ frac {1} {4n \ sqrt {n}} [/ math]

Esta aproximación funciona mejor si [math] n [/ math] es grande.

Answer 3

El resultado se desprende de la siguiente aproximación binomial

[matemáticas] \ sqrt {n + 1} + \ sqrt {n-1} = \ sqrt {n} (\ sqrt {1+ \ frac {1} {n}} + \ sqrt {1- \ frac {1} {n}}) \ aprox 2 \ sqrt {n} (1- \ frac {1} {8n ^ 2}), [/ math]

donde el último término se desprende de expandir los binomios hasta los primeros tres términos.

Answer 4

Puedes usar la aproximación de la segunda derivada