Cómo resolver este cryptarithim

Answer 1

Bueno, hagamos algunas suposiciones (no muy inseguras):

• Las letras corresponden a dígitos, organizados en un sistema convencional de base * n dígitos (como decimal, octal, etc.)
• Diferentes letras corresponden a diferentes dígitos
• El operador hace lo que esperamos que haga. (resta)
• Los primeros dígitos no pueden ser cero (que es B, prácticamente)

Sin embargo, no asumiremos necesariamente que el sistema es decimal.

Lo que tenemos que hacer, por lo tanto, es resolver un sistema de cinco ecuaciones. Como si no tuviéramos suficientes variables, también vamos a expresar los (cuatro) acarreos, digamos, x, y, z, w (afortunadamente son variables booleanas, independientemente del sistema aritmético en uso). Simbolicemos también la base con una ‘b’ en minúscula, lo que nos lleva a una ecuación del sistema como esa (de dígito significativo bajo a alto):

(1) b * x + E -C -D = 0

(2) b * y + D -A -A -x = 0

(3) b * z + C -A -D -y = 0

(4) b * w + B -E -A -z = 0

(5) A -B -B -w = 0

Uno podría protestar porque tenemos algunas variables más desconocidas que las ecuaciones, pero estas pequeñas limitaciones de los números reales no se aplican realmente a las ecuaciones enteras.

Observe que no hay un dígito ‘prestado’ en (5), solo el carry de (4).

Sin embargo, resolver ecuaciones diofánticas (aquellas que solo incluyen números enteros) no es tan metódico como el álgebra convencional, y con frecuencia requiere trucos e inspiración circunstanciales, que no tengo.

Por lo tanto, después de reemplazar exhaustivamente los términos, es decir, primero E (de 1), luego A (de 5), luego D, luego C, con la sensación constante de que alguna observación dramática me eludió, podemos concluir una sola ecuación con solo B como un término de dígitos completos, y el resto booleano. Encontrar la solución depende en gran medida de igualar por separado a cero tanto los multiplicadores base como los unos. Por ejemplo, si 10A + B – 60-5 = 0 en decimal, y A, B son dígitos, eso necesariamente significa que A = 6 y B = 5, resolviendo así dos variables con una sola ecuación.

(Perdón por omitir el proceso intermedio, pero considero que no es importante y agotador para el lector, que puede replicarlo fácilmente, después de todo. También sospecho que mis propios reemplazos no fueron los mejores posibles).

Finalmente, se pueden encontrar dos posibles soluciones en un sistema de 13 bases (ni siquiera puedo pronunciarlo):

A = 9, B = 4, C = 2, D = 5, E = 7 o A = 11, B = 5, C = 9, D = 10, E = 6

dos más en una base de 17:

A = 3, B = 1, C = 9, D = 6, E = 15 o A = 9, B = 4, C = 11, D = 1, E = 12

uno en una base de 20:

A = 7, B = 3, C = 1, D = 14, E = 15

y hay aún más, en sistemas aún más grandes. Sin embargo, ninguno en buen decimal.

Además, si permitimos B = 0 (violando nuestra cuarta suposición), hay más solución en el sistema hexal (base = 6):

A = 1, B = 0, C = 3, D = 2, E = 5