¿Son los teoremas algo más que axiomas contorneados?

Answer 1

Depende de a qué teoremas y axiomas te refieres.

Si toma casi cualquier cálculo lógico formalizando adecuadamente (de manera sólida y completa) alguna lógica, entonces los teoremas se adquieren de las operaciones “tautológicas” (de preservación de la verdad) con axiomas. En algunas lógicas (como las intuitivas y las clásicas), todos los teoremas y axiomas pueden inferirse unos de otros, por lo que no existe una diferencia tangible entre ellos.

Además, hasta donde yo sé, cualquier lógica puede formalizarse con muchos sistemas y / o reglas de axiomas diferentes, por lo tanto, sí, un teorema de lógica es simplemente un axioma después de algunas operaciones en él.

Por otro lado, algunos teoremas matemáticos son esencialmente más débiles que los axiomas (es decir, uno no puede inferir axiomas de los teoremas). Por ejemplo, el axioma de elección es más fuerte que el hecho de que cualquier subconjunto de números naturales ordenados por la relación “… menor que …” y, por lo tanto, la inducción matemática en [math] \ mathbb {N} [/ math]. Sin embargo, cuando dos declaraciones parecen ser equivalentes (como el axioma de elección y el principio de buen orden), puede causar algunos problemas porque si estas declaraciones son realmente fuertes (y el axioma de elección es fuerte), tendrá que aceptar todas estas declaraciones equivalentes o rechazarlas todas, que por algunas razones pueden ser indeseables.

Answer 2

Los teoremas son particulares de las matemáticas. Teorema significa una declaración que ya ha sido probada. Pero los axiomas son diferentes

Por ej. los axiomas pertenecientes a la geometría euclidiana pueden probar los teoremas de la geometría euclidiana solamente. A veces hay teoremas con diferentes axiomas y axiomas con diferentes teoremas (quinto postulado de Euclides)

y axiomas relacionados con la ciencia, la física, la biología … etc.

Los axiomas son ideas o creencias lógicas sobre las cuales se construyen los teoremas.

Los axiomas son la base del teorema de construcción, en el que los matemáticos viven, trabajan y se van, si ocurre un terremoto rechazarán ese axioma o teorema.

Para cada enunciado / teorema que podamos pensar, también podemos pensar en sus axiomas.

Nota: Los postulados son ladrillos del edificio, no teoremas.