Hagamos esto de manera más general:
- [matemáticas] T (n) = aT (\ alpha n) + c [/ matemáticas]
Defina [matemáticas] n = \ alpha ^ {- m} [/ matemáticas] y [matemáticas] U (m) = T (n) [/ matemáticas] y luego la ecuación se convierte en
[matemáticas] U (m) = aU (m-1) + c [/ matemáticas]
Esta es una relación de recurrencia simple con la solución.
- Cómo demostrar que [matemática] 4 ^ {2n} -1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática] para todos los enteros positivos [matemática] n [/ matemática]
- ¿Cómo factorizaron [matemáticas] 16y ^ 2-25x ^ 2 + 10x-1 [/ matemáticas]?
- Cómo resolver este problema de silogismo
- Si n es un número impar, ¿cómo pruebo que mcd (n, (n-1) / 2) = 1?
- ¿Puede la gráfica de la función l = f (n) (donde n es el número de muescas en un amperímetro) ser una curva y, de ser así, cuándo?
[matemáticas] U (m) = a ^ m [U (0) + cm] [/ matemáticas].
Volviendo a la variable original obtenemos
[matemáticas] T (n) = n ^ {- \ ln a / \ ln \ alpha} [T (1) -c \ frac {\ ln n} {\ ln \ alpha}] [/ matemáticas]
2. [matemáticas] T (n) = aT (\ alpha n) + cn ^ k [/ matemáticas]
Hacer el mismo cambio variable que antes produce
[matemáticas] U (m) = aU (m-1) + c \ alpha ^ {- km} [/ matemáticas].
Esta es también una relación de recursión simple con la solución.
[matemáticas] U (m) = a ^ m [U (0) -c + c \ frac {1- \ alpha ^ {- k (m + 1)}} {1- \ alpha ^ {- k}}] [/matemáticas].
Volviendo a las variables originales se obtiene
[matemáticas] T (n) = n ^ {- \ ln a / \ ln \ alpha} [T (1) -c + c \ frac {1-n ^ k \ alpha ^ {- k}} {1- \ alfa ^ {- k}}] [/ matemáticas]
3. [matemáticas] T (n) = aT (\ alpha n) + c \ ln n [/ matemáticas]
Mismo cambio de variable
[matemáticas] U (m) = aU (m-1) -c \ ln \ alpha m [/ matemáticas]
La solucion es
[matemáticas] U (m) = a ^ {m} [U (0) -c \ ln \ alpha \ frac {m (m + 1)} {2}] [/ matemáticas]
En las variables originales
[matemáticas] T (n) = n ^ {- \ ln a / \ ln \ alpha} [T (1) + \ frac {c \ ln \ alpha} {2} \ frac {\ ln n} {\ ln \ alfa} (1- \ frac {\ ln n} {\ ln \ alpha})] [/ math]