Cómo demostrar que [matemática] 4 ^ {2n} -1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática] para todos los enteros positivos [matemática] n [/ matemática]

Answer 1

Utilizamos el Principio de inducción matemática para resolver esto.

Podemos escribir [matemáticas] P (n) [/ matemáticas]: [matemáticas] 4 ^ {2n} – 1 [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 5 [/ matemáticas].

Notamos que [matemática] P (1) [/ matemática]: [matemática] 16 – 1 = 15 [/ matemática] que es divisible por [matemática] 5 [/ matemática].

Por lo tanto, [matemática] P (n) [/ matemática] es verdadera para [matemática] n = 1 [/ matemática].

Sea [matemático] P (k) [/ matemático] verdadero para algún número natural [matemático] k [/ matemático], es decir, [matemático] P (k) [/ matemático]: [matemático] 4 ^ {2k} – 1 [/ math] es divisible por [math] 5 [/ math].

Podemos escribir [matemáticas] 4 ^ {2k} – 1 = 5d [/ matemáticas], donde d ∈ N. (ecuación 1)

Ahora, deseamos demostrar que [matemática] P (k + 1) [/ matemática] es verdadera siempre que [matemática] P (k) [/ matemática] sea cierta.

[matemática] P (k + 1) = 4 ^ {2 (k + 1)} – 1 = 4 ^ {2k +2} – 1 [/ matemática]

Esto puede escribirse además como, [matemáticas] 4 ^ {2k} \ cdot4 ^ {2} – 1 [/ matemáticas]

que es [matemáticas] [16 \ veces (4 ^ {2k})] – 1 = P (k + 1) [/ matemáticas]

De la ecuación 1, sabemos que [matemáticas] 4 ^ (2k) = 5d + 1 [/ matemáticas],

por lo tanto [matemática] 16 \ veces (5d + 1) -1 = P (k + 1) [/ matemática]

lo que equivale a [matemáticas] 80d + 16 -1 = P (k + 1) [/ matemáticas]

por lo tanto, [matemática] 80d + 15 = P (k + 1) [/ matemática]

[matemáticas] 5 (16d + 3) = P (k + 1) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] 5 (\ text {cualquier cosa}) = P (k + 1) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] P (k + 1) [/ math] es verdadero cuando [math] P (k) [/ math] es verdadero. Por lo tanto, por principio de inducción matemática, la afirmación es verdadera para cada entero positivo n.

Espero que esto ayude 🙂

Answer 2

Realmente creo que la forma más simple es reducir el módulo 5:

4 ^ 2 = 16 = 1 mod 5, por lo que, obviamente, restar 1 te da un múltiplo de 5.

Pero puedes practicar la inducción.

Obviamente es cierto para n = 1: 5 | 4 ^ 2–1 = 15 = 3 * 5. Y si 4 ^ (2n) -1 = 5k, entonces

4 ^ (2 (n + 1)) – 1–15 = 5 * 16k

4 ^ (2 (n + 1)) – 1 = 5 * (16k + 3)

QED

Answer 3

[matemáticas] 4 ^ {2n} – 1 [/ matemáticas]

para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ {2n} – 1 = 4 ^ {2 (1)} – 1 = 16 – 1 = 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ {2m} – 1 = 5q [/ matemáticas]

[matemáticas] n = m + 1 [/ matemáticas]

Deje que [math] m, q [/ math] sean enteros positivos

[matemáticas] 4 ^ {2 (m + 1)} – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ {2m} 4 ^ 2 – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 (4 ^ {2m}) – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 (5q + 1) – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 80q + 16 – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 80q + 15 [/ matemáticas]

Answer 4

A2A

Solo por el bien, aquí está la prueba por inducción.

Esta proposición es verdadera para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], ya que [matemáticas] 4 ^ {2 \ veces 0} -1 = 1-1 = 0 = 5 \ veces 0 [/ matemáticas]

Ahora, supongamos que esta propuesta es verdadera para [math] n [/ math].

Entonces [math] \ existe k \ in \ mathbb N, 4 ^ {2n} -1 = 5k [/ math]

Como consecuencia, [matemáticas] 4 ^ {2n} = 5k + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ {2 (n + 1)} -1 = 4 ^ {2n + 2} -1 = 4 ^ 2 \ veces 4 ^ {2n} -1 = 16 (5k + 1) -1 = 80k + 16-1 = 80k + 15 = 5 (16k + 1) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ exist m \ in \ mathbb N, m = 16k + 1, 4 ^ {2 (n + 1)} – 1 = 5m [/ math]

Entonces, por inducción, [math] 4 ^ {2n} -1 [/ math] es divisible por [math] 5 [/ math] para todos [math] n \ in \ mathbb N [/ math]

Answer 5

Factorización

[matemáticas] 4 ^ {2n} -1 = 16 ^ n – 1 [/ matemáticas]

Esto será igual a

[matemáticas] (16-1) (16 ^ {n-1} + 16 ^ {n-2} + \ cdots + 1) [/ matemáticas]

Dado que el primer paréntesis es divisible por 5, y el segundo paréntesis es un número entero mayor que 1, entonces podemos concluir que la expresión es divisible por 5.

Aritmética modular

[matemáticas] 4 ^ {2n} = 16 ^ n \ equiv 1 ^ n \ equiv 1 \ mod 5 [/ matemáticas]

Entonces la expresión es divisible por 5.

Si quieres que lo pruebe por inducción, este es, con mucho, el método menos eficiente. Así que te dejaré el paso inductivo (el paso inicial de n = 1 es trivial → 15 es divisible por 5)

Answer 6

N = n ^ [2n] -1 = [4 ^ n-1] [4 ^ n + 1]

1, para n, incluso 4 ^ n = 16 ^ [n / 2] tiene un último dígito de 6, entonces 4 ^ n-1 tiene el último dígito de 5

2, para n impar, 4 ^ n = 4.4 ^ m, (m es par), entonces el último dígito de 4.6 (= 24) es 4, luego 4 ^ n +1, nuevamente tiene el último dígito [4 + 1] de 5 5

si n es impar o par 4 ^ 2n -1 es divisible por 5

Answer 7

Nota antes de leer: Mi prueba es intuitiva, no muy rigurosa

Bueno,

[matemáticas] 4 ^ {2n} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (2 ^ 2) ^ {2n} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {4n} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (2 ^ 4) ^ {n} [/ matemáticas]

Ahora, cada [matemática] 2 ^ 4 [/ matemática] tendrá [matemática] 6 [/ matemática] como último dígito, y no importa cuántas [matemática] 2 ^ 4 [/ matemática] haya, la última el dígito del producto siempre será [matemático] 6. [/ matemático]

Ahora, cuando restamos [matemática] 1 [/ matemática], el último dígito se convertirá en [matemática] 5 [/ matemática], por lo tanto, el producto siempre será divisible por [matemática] 5. [/ Matemática]

Espero que esto haya ayudado!

Answer 8

① El último dígito del número 4 ^ n es 4 o 6 y, por lo tanto, es un número par.

② ∴ 4 ^ (n-1) y 4 ^ (n + 1) son enteros impares.

③ Sea f (n) ≡ 4 ^ (2n) -1≡ (4 ^ n) ²-1≡ (4 ^ n + 1) (4 ^ n-1)

③ 4 ^ (n-1), 4 ^ n, 4 ^ (n +1) son enteros consecutivos.

④ ∴f (n) = producto de 2 INTEGERS ODD consecutivos. uno de los cuales es con el último dígito (4 + 1) o (6–1)

= un múltiplo de 5

Answer 9

Regla de divisibilidad de 5: se dice que un número es divisible por 5 cuando el dígito de las unidades de ese número debe ser ‘0’ o ‘5’.

así que ahora tenemos que demostrar que 4 ^ (2n) – 1 tiene sus dígitos de unidades como 0 o 5.

---

Cuando el 4 tiene un exponente como un número par, entonces el dígito de las unidades de ese número debe ser ‘ 6 ‘

ejemplo: 4 ^ 2 = 1 6 , 4 ^ 4 = 25 6 , 4 ^ 6 = 409 6 ……….

Del mismo modo, cuando 4 tiene un exponente como un número impar, entonces el dígito de las unidades de ese número debe ser ‘ 4 ‘

ejemplo: 4 ^ 3 = 6 4, 4 ^ 5 = 102 4 ………

---

Cualquier número entero positivo cuando se multiplica por un número par da un número par.

=> 2 (n) = número par .. (ya que 2 es un número par yn es un número entero positivo ..)

---

Entonces 4 ^ (2n) – 1 puede reescribirse como 4 ^ (número par) -1

=> (Algún número con unidades de dígitos como 6 ) – 1

=> El número resultante debe ser de unidades dígito 5.

=> El número debe ser divisible por 5 ..

Por lo tanto demostrado

Answer 10

Permítanme hacer esto sin congruencias y probar binomios en modo matemático por primera vez:

[matemáticas] 4 ^ {2n} = 16 ^ n = (15 + 1) ^ n = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ binom {n} {0} 15 ^ n + \ binom {n} {1} 15 ^ {n-1} +… + \ binom {n} {n-1} 15 + 1 [/ matemáticas]

Todos los términos son divisibles por 5 (ya que son potencias de 15) excepto el último 1, que se deduce convenientemente.

Answer 11

Tenga en cuenta que esto se puede reescribir como [matemáticas] 16 ^ n – 1 [/ matemáticas]

También tenga en cuenta [matemáticas] 16 \ equiv1 \ mod 5 [/ matemáticas]

Y claramente [matemáticas] 1 \ equiv1 \ mod 5 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] 1 ^ n – 1 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas]

Answer 12

4 ^ 2n = 16 ^ n. 16 elevado a cualquier potencia que desee producirá un número con su dígito derecho de 6. Si es de este número. 1 se resta, el número resultante terminará en 5, que necesariamente es divisible por 5. QED.

Answer 13

Prueba de inducción:

Base n = 1:

[matemáticas] 4 ^ {2 \ cdot 1} -1 = 15 \ marca de verificación [/ matemáticas]

Hipótesis de inducción: [matemáticas] 4 ^ {2 \ cdot n} -1 | 5 [/ matemáticas]

Paso: caso [matemática] n \ a n + 1 [/ matemática]

[matemáticas] 4 ^ {2 \ cdot (n + 1)} – 1 = 4 ^ {2n} \ cdot 4 ^ 2-1 [/ matemáticas]

Por la hipnosis sabemos que [matemáticas] 4 ^ {2n} = 5m + 1 [/ matemáticas]

Entonces tenemos [matemáticas] (5m + 1) \ cdot 4 ^ 2-1 = (5m + 1) \ cdot 16-1 = 80m + 16-1 = 80m + 15 = 5 \ cdot (16m + 3) [/ matemáticas]

y por supuesto

[matemáticas] 5 \ cdot (16m + 3) | 5 [/ matemáticas]

qed

Answer 14

Incluso podemos probar que la división entre 5 de 4 ^ 2n – 1 es siempre un número impar, y de la misma manera para la división de 4 ^ (2n-1) + 1, para n> 0.

Básicamente es mediante el uso del módulo 10 en lugar del módulo 5 (que está mirando el último dígito de estos números en la base 10).

Un método de inducción simple que mira solo el último dígito: 4 ^ 1 = 4 termina con un 4, 4 ^ 2 = 16 termina con un 6.

Si el último dígito de un número es 4, al multiplicarlo por 4 se obtiene un número cuyo último dígito es un 6 (ya que 4 × 4 = 16) Y el recíproco es verdadero (ya que 4 × 6 = 24).

Por lo tanto, 4 ^ (2n) termina con un 6 y 4 ^ (2n-1) termina con un 4.

Entonces 4 ^ 2n -1 y 4 ^ (2n-1) +1 ambos terminan con un 5. Por lo tanto, pueden dividirse entre 5 y el número resultante es impar.

Answer 15

Puede probar esto usando la inducción matemática en n.

¡Espero que esto ayude!

Answer 16

Por inducción.

Para n = 1 es obviamente cierto.

Suponga que es cierto para n = k. Necesitamos demostrar que bajo este supuesto también es cierto para n = k + 1. Es cierto porque se sigue de

4 ** 2 (k + 1) – 4 ** (2k) = 4 ** (2k) * (4 ** 2 -1) = 4 ** (2k) * 15

Answer 17

Como 4 ^ 2 = 16 congruente con 1 mod 5, también lo son todas las potencias de 16

Answer 18

Otra prueba:

[matemáticas] 4 ^ {2n} – 1 \ equiv (-1) ^ {2n} -1 \ equiv 1 – 1 \; [/matemáticas]

[matemáticas] \ equiv 0 \, (mod \, 5) [/ matemáticas]

QED

Answer 19

4 ^ (2n) -1 ≡ (-1) ^ (2n) -1 = 1 – 1 = 0 (mod 5)