Cómo resolver este problema en números complejos (ver descripción)

Answer 1

Para real [math] \ theta [/ math], es una función multivalor:

[matemáticas] \ arctan (z) = \ frac {1} {2} \ left (\ log (1-iz) – \ log (1+ iz) \ right) [/ math]

Entonces, sustitúyalo para obtener:

[matemáticas] \ arctan (e ^ {i \ theta}) = \ frac {1} {2} (\ log (1-i \ cos (\ theta) + \ sin (\ theta)) – \ log (1+ i \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta)) [/ math]

Como el valor principal de log es

[matemáticas] \ log (z) = \ log (|| z ||) + i \ arg (z) [/ matemáticas]

No se definirá cuando z desaparezca. Ocurre cuando [math] \ theta [/ math] es [math] + \ pi / 2 [/ math] o [math] – \ pi / 2 [/ math]

De lo contrario, puedes:

[matemáticas] \ log (1-i \ cos (\ theta) + \ sin (\ theta)) = \ frac {1} {2} \ log (2 + 2 \ sin (\ theta)) + i \ log ( \ frac {\ pi + \ theta} {2}) [/ math]

Y de manera similar, puedes seguir expandiéndote. Luego, sustituya algunos términos para simplificar aún más. Sin embargo, tenga especial cuidado con -1. Lo dejo como ejercicio al lector.

Answer 2

Hola,

Había resuelto esta pregunta hace bastante tiempo y era una pregunta basada en MCQ

Adjunto las fotos aquí

Acabo de cometer un error en la solución

En el lugar donde escribí e ^ I theta = sin y / cos y luego lo hice exponencial usando e ^ iy ¡debería haber un signo menos al frente! Cambia eso.

La respuesta saldría como npi / 2 + pi / 4-i / 2 (ln (tan (pi / 4-theta / 2)))

Answer 3

no encuentro a thita en mi teclado, así que déjalo ser x.

sin (x) = (e ^ ix – e ^ -ix) / 2i
cos (x) = (e ^ ix + e ^ -ix) / 2

Entonces tan (x) = sin (x) / cos (x) = (e ^ ix – e ^ -ix) / [i (e ^ ix + e ^ -ix)]

Para tan (x) = i, tendrías:

e ^ ix – e ^ -ix = i * i * (e ^ ix + e ^ -ix)

Como i * i = -1, tenemos:

e ^ ix – e ^ -ix = -e ^ ix – e ^ -ix

Entonces e ^ ix = -e ^ ix

O e ^ ix = 0.

Pero eso no es posible. Entonces tan (x) = i no es posible