Hola, gracias por A2A.
Aquí voy a resolver usando la fórmula de la garza.
De acuerdo con la fórmula de la garza, el área del triángulo con lados a, b, c viene dada por,
√ (s) (sa) (sb) (sc)
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Donde ‘s’ es el semiperímetro del triángulo, es decir, s = (a + b + c) / 2.
Ahora, antes de ir a la solución, probaré un resultado que nos ayudará a resolver esta pregunta.
Declaración: Si a + b + c = n, entonces el valor máximo de a * b * c es cuando a = b = c = (n / 3), es decir,
Máx. (A * b * c) = (n / 3) ^ 3.
Aquí está la prueba de eso.
A partir de este resultado, lo aplicamos a la fórmula de la garza para obtener el máximo producto.
En la fórmula necesitamos encontrar el máximo del producto (sa) (sb) (sc).
(sa) + (sb) + (sc) = (3s – (a + b + c))
(a + b + c) = perímetro = 2s
Por lo tanto, (sa) + (sb) + (sc) = (3s – 2s) = s.
Entonces, para obtener el máximo producto, necesitamos,
(sa) = (sb) = (sc) = (s / 3)
Al resolver obtenemos,
a = b = c = 2s / 3.
En nuestro problema 2s = perímetro = 316 y 2s / 3 = 105.333, pero necesitamos valores enteros de a, b, c, por lo que establecemos a = 105, b = 105 y c = 106 para obtener los valores enteros más cercanos a 2s / 3 para obtener el máximo producto.
Por lo tanto, solo hay un triángulo para valores enteros y para perímetro = 316 para obtener el área máxima para él.
Espero que haya ayudado.