¿Podemos encontrar la pendiente y la desviación de una viga en voladizo por el método Macaulay?

La mejor manera de explicarte es con un ejemplo, así que aquí va;

P. Utilice el método de integración para determinar los valores de pendiente y deflexión a 2 m del extremo libre del voladizo debido a la carga impuesta como se muestra en la figura (a). El material de la viga tiene un módulo de elasticidad de 200 GPa. La sección transversal de la viga tiene forma de T con un ancho de brida de 150 mm y un grosor de brida de 10 mm, una altura de banda de 120 mm y un espesor de banda de 8 mm.

R. Debido a que una sola ecuación de momento flector no puede dar valores de momento flector en cada punto del tramo, utilizaremos el método de Macaulay para encontrar la pendiente y la desviación del voladizo anterior. El diagrama de carga equivalente se puede dibujar como se muestra en la figura (b).

La ecuación diferencial de la curva elástica para este voladizo se puede escribir de la siguiente manera;

EI (d ^ 2y / dx ^ 2) = 2 [x] – 4 [x-1] [x-1] / 2 + 4 [x-3] [x-3] / 2 Eq. 1

La integración de la ecuación anterior wrt x rinde;

EI (dy / dx) = 2 [x ^ 2/2] – 4 [x-1] ^ 3/6 + 4 [x-3] ^ 3/6 + c1 Eq. 2

Aplique la condición de contorno de la pendiente para encontrar c1;

en x = 4, dy / dx = 0 porque en el soporte fijo la pendiente es cero.

=> c1 = 16 + 18 0.666 = 33.33

Sustituyendo el valor de c1 en la ecuación. 2 obtenemos el

EI (dy / dx) = 2 [x ^ 2/2] – 4 [x-1] ^ 3/6 + 4 [x-3] ^ 3/6 +33.33

Finalmente la ecuación de pendiente se escribe como

EI (dy / dx) = 2 [x ^ 2/2] – 4 [x-1] ^ 3/6 + 4 [x-3] ^ 3/6 +33.33 Eq. 3

e integrando nuevamente la ecuación. 3, obtenemos;

EI y = 2 [x ^ 3/6] – 4 [x-1] ^ 4/24 + 33.33x +4 [x-3] ^ 4/24 + c2 Eq.4

Para obtener el valor de c2 aplicamos la condición límite para la desviación; porque el soporte en D es fijo y rígido (inflexible) Por lo tanto, en x = 4, y = 0.

Sustituyendo estos valores de x e y en la ecuación. 4 obtenemos el valor de

c2 = 98.5

y la ecuación para la desviación se puede escribir como

EI y = 2 [x ^ 3/6] – 4 [x-1] ^ 4/24 + 33.33x +4 [x-3] ^ 4/24 – 98.5 Eq. 5 5

Pendiente a 2 m del extremo libre; ponemos x = 2 en la ecuación 3 (descuida los términos que se vuelven negativos)

dy / dx = (28.66) / EI

Desviación a 2 m del extremo libre; ponga x = 2 en la ecuación. 5 (descuidar los términos que se vuelven negativos)

y = (34.66) / EI

Todo lo que necesita hacer ahora es calcular el momento de inercia de la sección de la viga T e ingresarlo en las ecuaciones anteriores para encontrar los valores de pendiente y deflexión.

No mostraré cómo calcular el momento de inercia en esta respuesta, ese es un tema para otro día, pero para completar esta respuesta

Ixx = 363.76 cm4

EI = (200 × 109 N / m2) x (363.76 cm4) = 727.52 kN m2

Sustituyendo este valor de EI en las expresiones de pendiente y deflexión que obtenemos;

dy / dx = 28.66 / 727.52 = 0.0394 rad

y = 34.66 / 727.52 = 0.047 m (signo negativo indica que la desviación es hacia abajo)

KM