¿Cómo entienden las personas las pruebas de matemáticas?

Answer 1

No todos los teoremas son iguales, y no todas las pruebas deben entenderse de la misma manera. No tengo una excelente manera de describirlo, pero a veces hablo sobre el “ritmo” de un capítulo en un libro de matemáticas.

Comienzas con definiciones, casi siempre. Luego, a veces hay algunas interacciones bastante obvias entre sí o con conceptos anteriores. O, a veces, hay algunos lemas técnicos que no tienen aparente utilidad hasta que se avanza. En algún momento, con suerte está la estrella del espectáculo: el teorema principal de ese capítulo. Luego, después, tal vez hay algunas ilustraciones sobre por qué ese teorema es increíble. (Ese es solo un ejemplo … las cosas a veces se desarrollan de manera diferente).

En mi opinión, es importante tener una idea de con qué tipo de teorema estás trabajando. Si es la “estrella del espectáculo”, entonces a menudo es muy importante entender la prueba en profundidad. Si se trata de un lema técnico, es posible que solo le eches un vistazo, o (Dios no lo quiera) omita su prueba por completo.

Bien, eso responde a tu pregunta, pero solo un poco. Supongamos que se trata de un teorema cuya prueba, por cualquier razón, desea comprender. Le has dado una lectura rápida o dos, y no está tan claro. ¿Ahora que?

Un enfoque muy ingenuo (pero a menudo efectivo) es ir por la fuerza bruta: ¿qué es lo primero que no entiendes? Concéntrate en eso por un tiempo. Si no lo comprende después de un cierto período de tiempo, simplemente tómelo con fe y siga adelante. ¿Qué es lo siguiente que no entiendes? Etc.

Tenga en cuenta que su comprensión no necesariamente viene en el orden en que se escribió la prueba. A veces, el paso difícil de entender es el primer o segundo paso, pero es el último que realmente “hace clic” para usted. Tenga en cuenta esta posibilidad, por lo que es posible que deba “retroceder” para comprenderla.

Este tipo de cosas suceden particularmente a menudo en la primera parte del análisis real o al trabajar con espacios métricos, cuando se realizan pruebas [matemáticas] \ epsilon – \ delta [/ matemáticas]. El teorema es que, en condiciones regulares, la función [math] f [/ math] es continua. Comienzan: “Arregla un [math] \ epsilon> 0 [/ math], y deja que [math] \ delta [/ math] sea [alguna función completamente loca y de aspecto arbitrario de [math] \ epsilon [/ math]] . ”La primera reacción natural es“ ¿de dónde demonios vino eso ? ”Ese tipo de pruebas son particularmente susceptibles al enfoque de“ trabajar hacia atrás ”.

Otra técnica podría ser esforzarse por encontrar el “corazón” de la prueba: la una o dos líneas que, si conversara casualmente, serían suficientes para convencer al oyente. En una redacción completa, es posible que deba continuar durante un tiempo para configurar esas una o dos líneas, y puede que tenga que continuar durante un tiempo más para mostrar que esas una o dos líneas realmente hacen el trabajo. Pero a veces, una prueba tiene un concepto central que impulsa el resto.

Otra técnica, que tiene beneficios independientes, por cierto, es ver cómo falla la prueba si relaja una de las hipótesis. Si el teorema es “Si [math] n [/ math] es un múltiplo de 4, entonces …”, pruébelo para un primo [math] n [/ math]. Quizás una forma más general de decir eso es ser sensible a dónde se utiliza cada hipótesis en la prueba. Si su confusión se centra en una de las hipótesis, considere leer sobre los conceptos que entran en esa hipótesis.

Sin duda, algunas pruebas son simplemente … inescrutables. No te sientas mal si tienes que tomar el mulligan ocasional .

Answer 2

Usted preguntó por qué, no por qué no.

El motivo de su pregunta es muy interesante. Las personas inteligentes entienden las pruebas y no saben exactamente por qué, pero hay algo que necesitan pero no saben qué es.

La respuesta a su pregunta es una rama de las matemáticas llamada LÓGICA. Permítanme dar un ejemplo, daré una prueba, luego hablaré sobre la estructura lógica, y veremos si hace que sea más fácil de entender.

Teorema: no hay una fracción p / q, con pyq pertenecen a N, por lo que su cuadrado es 2.

Sea p / q una fracción irreducible, y sea (p / q) ^ 2 ser 2. Entonces

p ^ 2

—— = 2

q ^ 2

El conjunto N se divide en 2 tipos de elementos: probabilidades y pares, y cuando un número es par, su cuadrado también es par: p = 2 n => p ^ 2 = 4 n ^ 2 = par, lo mismo ocurre cuando es impar si q = 2 n + 1 => q ^ 2 = 2 n (2 n + 2) + 1 = par + 1 = impar.

Entonces, en nuestra fracción p / q asumimos que irreducible => p y q no pueden ser ambos pares

pero p ^ 2 = 2 q ^ 2, entonces p ^ 2 es par, entonces p es par. Pero entonces q debe aceptar ser impar. Pero si p es par p = 2n => p ^ 2 = 4n ^ 2

p ^ 2 = 4 n ^ 2

p ^ 2 = 2 q ^ 2 => 4 n ^ 2 = 2 q ^ 2 => 2 n ^ 2 = q ^ 2 => q ^ 2 es par => q es par pero esto es imposible porque asumimos que era impar. FIN

A algunas personas les resulta difícil seguir el razonamiento, no el álgebra, sino el punto.

¿Por qué asumimos q era extraño?

Ahora hablemos de lógica. Cuando ves una gran catedral con una bola de bronce de 30 pies en la parte superior, no la entiendes. Esto se debe a que los arquitectos no dejarían allí las múltiples, grúas, rampas, etc., todo lo que hizo posible construir la catedral.

La lógica es la variedad que nos permite estar seguros de lo que escribimos una prueba libre de errores.

Cuando decimos A => B queremos decir que siempre que la afirmación A sea verdadera, asegúrese de que la afirmación B también sea verdadera. Cuidado B puede ser cierto incluso cuando A no lo es.

A = está lloviendo

B = mi auto está mojado

A => B pero mi auto puede estar mojado aunque no llueva, entonces B => A está mal

Sin embargo, esto es correcto notB => notA

ciertamente, si mi auto no está mojado, entonces no está lloviendo (porque llueve o no, y si lloviera, mi auto estaría mojado, pero no está mojado, por lo que no está lloviendo).

Entonces A verdadero => B verdadero y también B falso => ​​A falso. “Este es el punto clave”, recuérdelo para nuestra demostración por ejemplo:

B = “A verdadero implica que A es falso” esta última afirmación siempre es falsa, así que si puedo mostrar que

A = “Está lloviendo” => B, entonces he demostrado que “Está lloviendo” es falso

Ahora definamos las declaraciones de este juego: nos gustaría probar que A es falso:

A = “existen p y q tales p ^ 2 / q ^ 2 = 2, con p par y q impar”

y sabemos todo esto:

C = “si p es par p ^ 2 es par” D = “si q es par q ^ 2 es par”

E = “si p ^ 2 es par p es par” F = “si q ^ 2 es par q es par”

G = “p es par” H = “q es par” K = “q es impar”

la afirmación T = “K y H son ambas verdaderas” siempre es falsa, T es falsa

t Ahora la prueba está escrita como:

A => K …… .porque dentro de A decimos que K es verdadero y G es verdadero

pero también

A => p ^ 2 = 2 q ^ 2 => p ^ 2 = par => E => G

G => p = 2n => p ^ 2 = 4 n ^ 2 = 2 q ^ 2 => 2 n ^ 2 = q ^ 2 => q ^ 2 par => F => H

El principio y el final de la línea dice A => H

Entonces A => K y también A => H entonces A => (K y H) entonces A => T

Pero T es falso ahora recuerda lo que llamé arriba “el punto clave”.

Entonces, no T es cierto, así que no A es cierto. ¿Qué es lo que queríamos probar?

Como en la metáfora de la catedral, las múltiples dejan el teorema más desordenado que antes. Es por eso que la estructura lógica se elimina pero se siente. Como si sintiéramos las grúas que debieron haber estado levantando las grandes campanas hacia la torre de la iglesia.

Answer 3

Las pruebas de matemáticas se entienden como argumentos lógicos y se escriben con el objetivo de ser correcto, completo, legible y entendido por el grupo de pares.

Tomando algunas cosas que se conocen como verdaderas, premisas, axiomas, teoremas , procedemos a través de una variedad de enfoques de razonamiento que conducen a construcciones de objetos matemáticos con propiedades, haciendo deducciones, examinando casos si es necesario o transformando un objeto de interés en un equivalente forma, permitiéndonos emplear más herramientas en el análisis. Independientemente de cómo usemos nuestras herramientas de análisis para construir pruebas, establecemos la verdad a través de argumentos lógicos y la aplicación de reglas básicas de deducción o inferencia para sacar conclusiones matemáticas significativas.

Las pruebas pueden incluir el uso de todo tipo de verdades y herramientas geométricas, aritméticas, algebraicas, combinatorias, topológicas durante las actividades anteriores. Pero, siempre contienen una búsqueda clara de declaraciones verdaderas y relevantes que respalden el argumento. Independientemente de si es la prueba del último teorema de Fermat o una de las pruebas de geometría de Euclides, entendemos las pruebas como argumentos lógicos que se leen como una historia bien escrita que avanza paso a paso con cuidado y conduce inexorablemente a la verdad. Las pruebas se escriben para ser leídas, especialmente por un grupo de pares con un cierto conjunto de habilidades requeridas para comprender la prueba. Por lo tanto, escribir a su nivel, claramente, es absolutamente obligatorio.

Answer 4

Depende de la prueba, por supuesto. Algunas cosas generales:

1. Pase tiempo con la prueba
2. Revísalo paso a paso y trata de entender cada uno.
3. Un consejo en relación con esto es dudar de que un paso funcione e intentar cuestionarlo. Incluso si es obvio en casos agradables, ¿por qué no hay ninguno que lo destruya?
4. Cuando se definen las cosas, mira cómo se usan y por qué es útil
5. Vea dónde se necesitan los supuestos
6. Intenta mirar la estructura general de la prueba
7. Relacione los métodos utilizados en la prueba con otros teoremas o pruebas. Elige similitudes.
8. Preferiblemente haga que una persona calificada se lo explique. Pero asegúrate de entenderlo formalmente
9. Y otra vez. Tómese su tiempo, a menudo no es fácil

Answer 5

Me parece que tengo 3 niveles principales de comprensión de una prueba.

1. Leo cada paso lógico y veo que son correctos y que la conclusión, de hecho, se sigue de las hipótesis. Soy consciente de las estructuras lógicas básicas, como la prueba por contradicción, el argumento por casos, etc. Sin embargo, dudaría en llamar a este entendimiento.
2. Puedo, con un poco de tiempo, reconstruir una prueba, tal vez el módulo de uno o dos pasos que son lo que considero “contabilidad” (tal vez algún truco algebraico inteligente que se me escapa). Obviamente me gustaría reproducir la totalidad de la prueba.
3. Realmente “entiendo” la prueba; Sé por qué se hace cada paso, he jugado con todas las ideas y puedo resumirlo en un nivel superior. Reconozco las diferentes técnicas utilizadas y veo cómo se puede modificar la prueba para situaciones similares. Esencialmente, se ha vuelto intuitivo. Al reconstruir la prueba, pienso en ello desde un enfoque de arriba hacia abajo. Primero esbozo en mi mente el mayor barrido de los argumentos, es decir, las principales declaraciones lógicas que son básicamente micro pruebas. Entonces puedo completar los detalles rigurosamente. En esencia, puedo jugar con esta prueba en todos los niveles; Puedo producirlo eficientemente en una calidad y puedo explicarle a mi madre por qué es cierto.

Para aprender una prueba, le recomiendo que primero intente probarla usted mismo, luego lea la prueba y luego repita hasta que sea natural. Pase tiempo extra en los pasos difíciles. Encuentro que las cosas no tienen sentido por 1 de 2 razones:

1. No veo cómo la declaración A implica lógicamente la declaración B. Esto requiere un poco de trabajo de parte de su parte para comprender y puede que tenga que darse por sentado temporalmente.
2. No veo la relevancia de una declaración. Esto puede ser realmente frustrante y, a menudo, se soluciona poco después (o indica que no entiendo el problema).

Mientras trabaja en la prueba, fije en su mente lo que está tratando de probar y cómo cada sección ayuda a esa prueba.

Se vuelve más fácil, solo comienza con algo pequeño y continúa. ¡Buena suerte!

Answer 6

En lo que a mí respecta, no hay nada más que pruebas en un texto matemático. Todos los teoremas, proposiciones, definiciones, lemas, notas están ahí para pausar y facilitar la lectura. Pero todo el asunto está en la construcción lógica, no en los objetos.

Pero sé que para muchos, los profesores son una parte molesta de un texto matemático que está ahí para convencerte cuando no entiendes una proposición o teorema. La mayoría de las veces, la prueba no lo ayuda a comprender, pero al menos puede estar seguro de que lo que se dice es cierto.