¿Qué es una función de forma en FEM?

Answer 1

Después de obtener una buena respuesta en mi última respuesta, ahora tengo la confianza suficiente para escribir mi segunda respuesta.

¡Bueno! Su pregunta, ¿Cuáles son las funciones de forma en FEM?

Dividiré mi respuesta en dos partes.

1) En esta parte, supondré que sabes un poco de teoría y matemáticas detrás de FEM.

Desde mi punto de vista, las funciones de forma son las funciones de base nodal ortogonal. ¡Si, escuchaste bien!

Ahora uno puede preguntar cuáles son las bases, ¿verdad? Tenga paciencia conmigo un poco antes de llegar a la respuesta final.

Base de un espacio vectorial:

Una base de un espacio vectorial (finito-dimensional) V es un conjunto finito {v1,. . . , vn} de vectores en V para que cada elemento v ∈ V pueda expresarse de forma única como una combinación lineal v = a1v1 +. . . + anvn. Observe que si {v1,. . . , vm} es un conjunto de expansión con algún vector representado de manera no única, entonces habrá una relación entre los vectores de expansión y podemos escribir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.

Si V = Span {v1,. . . , vm}, entonces hay un subconjunto {vi1,. . . , vin} del conjunto de vectores de expansión que es una base.

Base ortogonal:

La base estándar del R3 que consiste en los vectores

es una base ortonormal del espacio vectorial euclidiano tridimensional R3.

Ahora cualquier vector se puede representar en el espacio vectorial con la ayuda de estos vectores de base ortogonales.

Por ejemplo :

Fuctions de forma:

Las funciones de forma son las funciones de base nodal ortogonal cuyo valor es 1 si i = j y 0 si i ≠ j.

Esta propiedad única de las funciones de forma se denomina propiedad Delta de kronecker.

La función de forma es la función que interpola la solución entre los valores discretos obtenidos en los nodos de malla

De manera similar a como especificar un vector en el espacio vectorial V con la ayuda de vectores base, en FEM si desea encontrar el desplazamiento en cualquier punto del elemento, puede encontrarlo en términos de desplazamiento nodal con la ayuda de funciones de forma.

U * = N1u1 + N2u2 +….

aquí N1, N2, N3 … son funciones de forma y u1, u2, …. son desplazamientos nodales (que deben evaluarse). La forma en que elegimos las funciones de forma se rige por la regla de que deben ser particiones de unidad, es decir, la suma de todas las funciones de forma en cualquier punto dado (x, y, z) debe ser 1. (N1 + N2 + N3 +…. = 1) .

2. Suponiendo que no conoces las matemáticas detrás de FEM.

Vamos a calcular el desplazamiento de los nodos en los vértices del triángulo, pero también tenemos que calcular el desplazamiento de los puntos dentro del triángulo. Usaremos funciones de forma para interpolar los desplazamientos nodales para calcular los desplazamientos de puntos arbitrarios dentro de los triángulos.

Podemos usar estas mismas funciones de forma para calcular las coordenadas de un punto interior al triángulo donde x1, y1, x2, y2 y x3, y3 son las coordenadas de los vértices del triángulo y x e y son las coordenadas de un punto arbitrario dentro el triangulo.

X = N1 × 1 + N2x2 + N3x3

Y = N1y1 + N2y2 + N3y3

¡Espero que ayude!

Si realmente lo encuentra útil, no se olvide de motivarme a escribir más dando un voto positivo.

¡Gracias!

-Rajit Sanghvi

Answer 2

Déjame ver si puedo hacer esto simple.

Considere una línea con 2 nodos

x ——- x

El desplazamiento en y quizás solo puede variar linealmente a lo largo de esta línea: por ejemplo, y = ax + b

Ahora considere una mentira con 3 nodos

x —— x —— x

El desplazamiento en la dirección y ahora puede variar parabólicamente a lo largo de esta línea: por ejemplo

y = ax ^ 2 + bx + c

Estas son funciones de forma simples a lo largo de una línea y para un método de elementos finitos basado en desplazamiento, representarían el cambio de desplazamiento a lo largo de esta línea.

Ahora puedo tomar cuatro líneas y construir la variación a lo largo de cada uno de estos bordes y tendría las funciones de forma para los elementos de clase de serendipia 2D (sin nodos internos).

Y de manera similar para los elementos de serendipia 3D.

Tenga en cuenta que las funciones de forma no son cero en el elemento y cero en cualquier otro lugar.

Ahora la matemática para esta función de forma generalizada es incómoda. Entonces…

1. a menudo creamos una geometría regular simple que se extiende de -1 a 1 en X, Y y Z
2. luego mapeamos estos elementos simples a la geometría real (el jacobiano nos permite hacer esto)

y, por supuesto, puede usar cualquier otra variedad de funciones de forma que elija siempre que:

1. son buenas aproximaciones de tu física
2. están completamente definidos por el número de nodos

¡¡¡Espero que esto ayude!!!

Answer 3

La gente ya lo ha explicado muy bien. Entonces, intentaré explicar de manera diferente con una analogía con el álgebra lineal:

Álgebra lineal :

Creo que usted conoce la base estándar para el espacio euclidiano 3-D

Son dados por

[matemáticas] e_x [/ matemáticas] = [1 0 0]; [matemáticas] e_y [/ matemáticas] = [0 1 0]; [matemáticas] e_z [/ matemáticas] = [0 0 1]

Puede obtener cualquier vector en el espacio 3D utilizando una combinación lineal de la base, como –

u = a * [matemáticas] e_x [/ matemáticas] + b * [matemáticas] e_y [/ matemáticas] + c * [matemáticas] e_z [/ matemáticas]; donde a, b, c son constantes —- EQN (A)

FEM:

En FEM, tendremos la forma débil para cada elemento en el dominio. Suponga que ha mallado una placa 2D con elementos triangulares, algo como esto

Dentro de un solo elemento, usted define la variable de solución (por ejemplo, desplazamiento) como

[matemáticas] u = u_1 * N_1 + u_2 * N_2 + u_3 * N_3 [/ matemáticas] —- EQN (B)

¿Ves un parecido entre las ecuaciones A y B?

Poco más explicación:

Al igual que tenemos vectores básicos en álgebra lineal, tenemos funciones básicas en FEM. Nuestras funciones básicas son [matemática] N_1 [/ matemática], [matemática] N_2 [/ matemática] y [matemática] N_3 [/ matemática] (también llamadas funciones de forma).

¡Al realizar una combinación lineal de las funciones básicas, podemos obtener el valor de nuestra variable de campo en cualquier punto dentro de nuestro elemento!

[matemáticas] u = u_1 * N_1 + u_2 * N_2 + u_3 * N_3 [/ matemáticas]

Aquí, las constantes ([matemáticas] u_1, u_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] u_3 [/ matemáticas]) con las que realiza la combinación lineal son esencialmente las variables de campo en los 3 nodos del elemento triangular.

La belleza de la ecuación (B) es que convierte la forma débil en un sistema lineal de ecuaciones, a saber, KU = F

Hay detalles involucrados, pero lo omití para responderlo en términos simples. Espero que esto ofrezca una perspectiva ligeramente diferente .

-Prithivi

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Cosas adicionales:

Aquí hay otro video que explica los conceptos básicos de resistencia de los materiales (estado de estrés, tensiones principales, círculo de Mohr y teorías de falla) sin ecuaciones matemáticas:

Answer 4

Las funciones de forma son básicamente modelos de interpolación.

Suponga que desea querer encontrar el desplazamiento de un punto dentro de un triángulo, pero se le da el desplazamiento solo en los nodos. Aquí, las funciones de forma demuestran ser muy útiles. Puede interpolar el desplazamiento en los tres nodos del triángulo para obtener el desplazamiento en el punto requerido dentro del triángulo

Ejemplo para un elemento CST

x = N1x1 + N2x2 + N3x3

y = N1yi + N2y2 + N3y3

x1, x2, x3 / y1, y2, y3 – Coordenadas del triángulo

x, y- Coordenadas del punto dentro del triángulo.

Espero que ayude, buena suerte !!

Answer 5

En FEM, el concepto básico es asumir una solución aproximada que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones de frontera. La idea es lograr que esta solución supuesta o aproximada se acerque lo más posible a la solución exacta. Para hacer esto, asumimos que nuestra solución aproximada es una combinación lineal de funciones más simples. Estas funciones más simples se denominan funciones de forma.
Por ejemplo, tomamos una solución aproximada U * = N1u1 + N2u2 +….
aquí N1, N2, N3 … son funciones de forma y u1, u2, …. son constantes (que deben evaluarse). La forma en que elegimos las funciones de forma se rige por la regla de que deben ser particiones de unidad, es decir, la suma de todas las funciones de forma en cualquier punto dado (x, y, z) debe ser 1. (N1 + N2 + N3 +…. = 1) . El número y el orden de las funciones de forma determinan la precisión de la solución. Idealmente, cuanto más funcione la forma, más precisa será la solución y más potencia computacional requerida.

Answer 6

La función de forma es el tejido básico de FEM.
La belleza de todo FEM reside en algunos conceptos muy simples:
1) función de forma
2) integración de Gauss
3) jacobiano

Considere una ecuación FEM:
KX = F

aquí K se calcula usando la función de forma.
F se calcula demasiado usando la función de forma.
X es desconocido ……

Entonces, ¿qué es la función de forma?
La función de forma contiene el efecto de:
1) ¿Cuál es nuestra suposición básica de soluciones y su variación atraviesa el cuerpo?
2) El efecto de la forma del cuerpo en su espacio físico o en el espacio transformado.
También tenga en cuenta que:
🙂 Para encontrar el jacobiano necesitamos la función de forma.
🙂 Para D0 Gauss Integration necesitamos la función de forma.
Será correcto decir que el concepto de función de forma es una de las cosas más novedosas en FEM que ha llevado a un mayor desarrollo en FEM.

Answer 7

Como dijo Shivam Kumar, la función de forma es solo un método de interpolación. O más exactamente, la función de forma es un método de cuasi interpolación.

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La interpolación significa que tiene alguna coordenada xi y el valor de la función (como el desplazamiento) en la coordenada f (xi), y necesita el valor de la función f (xx) en otra ubicación (como xx).

La interpolación debe satisfacer ciertas restricciones, para la aplicación FEM, diferenciable en el elemento, continua en la interfaz del elemento, recuperando el valor de función conocido f (xi) en xi, y la integridad: ser capaz de representar el espacio de la solución.

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Cuasi-interpolación significa un método de interpolación especial sin resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Answer 8

Puede pensar en la función Forma como una función de interpolación. Piensa en una trama xy. Si se conocen valores en dos puntos, diga [math] (x_1, y_1) [/ math] y [math] (x_2, y_2) [/ math].

Ahora, si uno está interesado en calcular [matemática] y_3 [/ matemática] en un punto intermedio [matemática] x_3 \ in \ left [x_1, x_2 \ right] [/ math], se puede usar una interpolación simple. Estas interpolaciones pueden ser lineales, cuadráticas, etc. en 1-D; bi-lineal, etc. en 2-D, tri-lineal, etc. en 3-D.

De manera similar, en FEM, todos los valores (principalmente desplazamientos o fuerzas de reacción) se definen en los puntos nodales pero no se conocen dentro del elemento. Las funciones de forma locales son similares a las funciones de interpolación. Se utilizan para interpolar los valores en los nodos en cualquier punto dentro del elemento.

En Bubnov-Galerkin FEM, se utilizan las mismas funciones de forma tanto para desplazamientos como para desplazamientos virtuales. Sin embargo, en Petrov-Galerkin FEM, se utilizan diferentes funciones de forma para ambos.

Answer 9

Param Alvenkar ha dado una hermosa descripción sobre la función de forma. Aquí está mi intento de resaltar la filosofía detrás de las funciones de forma.

Supongamos que un problema físico se rige por el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales.

[matemáticas] A (u) = Lu + g = 0 \ qquad en \ Omega [/ matemáticas]

con la siguiente condición de límite natural

[matemáticas] B (u) = 0 \ qquad en \ parcial \ Omega [/ matemáticas]

Muchas veces, la solución del problema anterior no está disponible para nosotros. que exige las interesantes técnicas numéricas para calcular las mejores soluciones de aproximación. Dejaré de divagar ahora y volveré a la respuesta directamente.

Si alguien nos pide que encontremos la mejor solución aproximada posible del problema, ¿cuál será nuestra suposición? A partir de aquí, en realidad, comienza toda la filosofía detrás de las funciones de forma.

Aproximamos el comportamiento de parámetros desconocidos (puede ser geometría o cualquier otra función) mediante el uso de polinomios de orden inferior. ¿Pero cómo? la respuesta es simple, seleccione un conjunto de polinomios independientes y use el span (combinación lineal). ¿Cómo seleccionamos estos polinomios? Bueno, el primer criterio es que deberían ser muy simples para trabajar. por lo tanto, el valor aproximado del polinomio se ve de la siguiente manera,

[matemáticas] f (x, y) = \ sum N_i \ cdot f (x_i, y_i) [/ matemáticas]

donde N_i (x, y) son los polinomios de orden inferior seleccionados, si observa la expresión anterior, notará que el peso de cada polinomio es en realidad el valor nodal de f (x, y). Lo que significa en el nodo ‘i’ N_i = 1 y todos N_j = 0.

A partir de aquí, puede seguir la Respuesta de Param Alvenkar.

¡¡¡Espero que esto sea útil para usted!!!

Si necesita más información, no dude en preguntar.

Answer 10

La función de forma es una función aproximada con la que elige aproximar su solución, entre dos nodos.

Como sabemos, en Elementos finitos, resolvemos nuestro PDE en un conjunto discreto de puntos / nodos / elementos en nuestro dominio. Luego extendemos la solución obtenida en este número finito de puntos / nodos en todo el dominio mediante el uso de funciones de interpolación. Estas funciones se denominan funciones de forma o funciones básicas.

Espero que esto ayude !

Answer 11

cuando vi por primera vez la función de forma, me confunde mucho, ¿por qué llamarla función de forma, no función de interpolación o cualquier otra cosa? y cómo se determina la función de forma para diferentes elementos. entonces me di cuenta de que la función de forma viene antes que los elementos.

Cuando usamos FEM, básicamente estamos tratando de obtener la deformación de cada elemento, lo que significa que queremos saber el desplazamiento en cada posición, y el desplazamiento hace que cambie la forma del elemento, debemos adivinar cómo será la forma y usar una función para describirla, esta es la función de forma, cuando tenemos una función de forma, tenemos que determinar cuántos nodos necesitamos para definir la función, luego sabemos qué tipo de elementos debemos usar en el análisis.

Answer 12

La función de forma es algo que se usa para dar la relación entre el desplazamiento nodal y el desplazamiento en un punto dado.
Considere, por ejemplo, segundos y minutos.
Minutos = 1/60 segundos
Minutos = y (segundos)
Donde y = 1/60 es la relación entre segundos y tiempo
de manera similar para un elemento 1-d que tiene desplazamientos nodales u1 y u2 y desplazamiento en un punto u están relacionados usando
U = N1u1 + N2u2
Donde N1 y N2 son las funciones de forma