No sé por qué todos aquí parecen estar diciendo que encontrar el inverso es más lento que encontrar el determinante. De hecho, tienen aproximadamente la misma complejidad temporal, aunque realmente depende del algoritmo que use para cada uno.
De hecho, si usa el método de eliminación de Gauss-Jordan para encontrar el inverso y usa la expansión de Laplace para encontrar el determinante, entonces encontrar el inverso es más rápido: es [matemáticas] O (n ^ 3) [/ matemáticas] versus lo terrible [matemáticas] O (n!) [/ matemáticas] para determinantes. El número [math] n [/ math] aquí es el tamaño de la matriz. (Tenga en cuenta que [math] n!> N ^ 3 [/ math] para todos [math] n \ geq 6 [/ math].) Por supuesto, no estoy siendo justo aquí, ya que no estoy comparando más métodos eficientes para cada operación.
Por ejemplo, uno puede usar una variante de eliminación gaussiana para encontrar el determinante de una matriz. Todo lo que necesitamos es ‘reducir’ la matriz a forma triangular, luego multiplicar las entradas diagonales. Es importante darse cuenta aquí de que solo podemos usar ‘operaciones de fila’ que no cambien demasiado el determinante. Para ser específicos, debemos tener esto en cuenta:
- Intercambiar dos filas consecutivas invierte el signo del determinante;
- Agregar un múltiplo escalar de una fila a otra fila no cambia el determinante;
- Multiplicar una fila por un escalar multiplica el determinante por el mismo escalar.
Vamos a ilustrar este método encontrando el determinante
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[matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 y 2 y 4 \\ -1 y 3 y 5 \\ 6 y 1 y -2 \ end {vmatrix}. [/ math]
Agregamos dos veces la tercera fila a la primera fila:
[matemáticas] \ begin {vmatrix} 13 y 4 y 0 \\ -1 y 3 y 5 \\ 6 y 1 y -2 \ end {vmatrix}. [/ matemáticas]
Luego agregamos [math] 5/2 [/ math] de la tercera fila a la segunda fila:
[matemáticas] \ begin {vmatrix} 13 & 4 & 0 \\ 14 & \ frac {11} {2} & 0 \\ 6 & 1 & -2 \ end {vmatrix}. [/ math]
Luego agregamos [math] -8/11 [/ math] de la segunda fila a la primera fila:
[matemáticas] \ begin {vmatrix} \ frac {31} {11} & 0 & 0 \\ 14 & \ frac {11} {2} & 0 \\ 6 & 1 & -2 \ end {vmatrix}. [/ matemáticas]
Por lo tanto, todos estos determinantes son iguales a [matemática] \ frac {31} {11} \ veces \ frac {11} {2} \ veces (-2) = – 31 [/ matemática].
Este algoritmo es [matemático] O (n ^ 3) [/ matemático], la misma complejidad que el método de eliminación de Gauss-Jordan utilizado para encontrar inversos.
En la práctica, se utilizan algoritmos aún mejores para obtener determinantes, y mejores algoritmos para obtener inversas de matriz. Resulta que encontrar el determinante de una matriz todavía tiene aproximadamente la misma complejidad algorítmica que encontrar su inverso: uno no es más lento que el otro.