Cómo demostrar que [math] \ sum \ limits_ {n = k} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} <\ frac {2} {k} [/ math]

Answer 1

Podemos hacer esto sin cálculo usando una suma telescópica:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = k} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} <\ sum_ {n = k} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2 – \ frac14} = \ sum_ {n = k} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {n – \ frac12} – \ frac {1} {n + \ frac12} \ right) = \ frac {1} {k – \ frac12 } \ le \ frac2k [/ math].

Este es el primero de una serie de aproximaciones telescópicas cada vez más precisas:

[matemáticas] \ sum_ {n = k} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} \ left (1 + h \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {k – \ tfrac12} [/ matemáticas],

[matemáticas] \ sum_ {n = k} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} \ left (1 – \ frac {7h ^ 2 + 4h ^ 3} {3} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {k – \ frac12} – \ frac {1} {12 (k – \ frac12) ^ 3} [/ matemáticas],

[matemáticas] \ sum_ {n = k} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} \ left (1 + \ frac {155h ^ 3 + 252h ^ 4 + 112h ^ 5} {15} \ right) [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {k – \ frac12} – \ frac {1} {12 (k – \ frac12) ^ 3} + \ frac {7} {240 (k – \ frac12) ^ 5} [ /matemáticas],

[matemáticas] \ sum_ {n = k} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} [/ matemáticas] [matemáticas] \ izquierda (1 – \ frac {8001h ^ 4 + 25256h ^ 5 + 27280h ^ 6 + 9920h ^ 7} {105} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {k – \ frac12} – \ frac {1} {12 (k – \ frac12) ^ 3} + \ frac {7} {240 (k – \ frac12) ^ 5} – {} [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {31} {1344 (k – \ frac12) ^ 7} [/ matemáticas],

⋮

donde [matemáticas] h = \ tfrac {1} {4n ^ 2 – 1} [/ matemáticas]. Esa secuencia alterna de coeficientes es [matemática] B_0 \ bigl (\ tfrac12 \ bigr) = 1 [/ matemática], [matemática] B_2 \ bigl (\ tfrac12 \ bigr) = – \ tfrac {1} {12} [/ matemática ], [matemáticas] B_4 \ bigl (\ tfrac12 \ bigr) = \ tfrac {7} {240} [/ matemáticas], [matemáticas] B_6 \ bigl (\ tfrac12 \ bigr) = – \ tfrac {31} {1344} [/ matemáticas], … (A033469).

Answer 2

A veces, podemos aproximar el área bajo una curva aproximándola con rectángulos. En otras ocasiones, podemos hacer lo contrario y aproximar una suma calculando el área bajo una curva.

La figura a continuación muestra cómo podríamos aproximar la suma
[matemáticas] \ sum_ {n = 2} ^ {10} 1 / n ^ 2 [/ matemáticas]. El límite superior es [math] \ int_1 ^ {10} 1 / x ^ 2 dx [/ math]. (Creado a partir de una visualización en el sitio web de Mathematica: Visualize Riemann Sums).

Tenga en cuenta que, dado que estamos utilizando puntos finales correctos para nuestros rectángulos, el límite inferior de nuestra integral es uno menos que el límite inferior de nuestra suma. Esto causará un pequeño problema cuando el límite inferior de nuestra suma sea 1, que trataré más adelante. Suponga que ese no es el caso por ahora.

Para resolver este problema, calcularemos el área bajo la curva [matemática] y = 1 / x ^ 2, [/ matemática] para [matemática] k – 1 \ leq x \ leq \ infty. [/ math] Técnicamente, esta es una integral impropia y debe calcularse con un límite. Pero voy a ser vago.

[matemáticas] \ int_ {k – 1} ^ {\ infty} 1 / x ^ 2 dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = [-1 / x] _ {k – 1} ^ {\ infty} = 1 / (k – 1). [/matemáticas]

Ahora si [math] k \ geq 2 [/ math], entonces [math] 1 / (k – 1) \ leq 2 / k [/ math]. Así que hemos demostrado que nuestra desigualdad es válida para todos los casos con [math] k \ geq 2 [/ math].

Ahora solo tenemos que lidiar con el caso problemático de cuando k = 1. Para obtener una mejor aproximación con el método integral, siempre podemos resumir algunos términos en nuestra serie y luego usar una integral para aproximar el resto.

En este caso solo tenemos que agregar el primer término.
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} 1 / n ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ leq 1 + \ int_ {x = 1} ^ {\ infty} 1 / x ^ 2 dx = 2 [/ matemáticas]

Entonces, cuando k = 1, nuestra suma está limitada por 2 / k = 2.
QED

Answer 3

Este es un poco complicado. El lado derecho se hace más pequeño “más rápido” que el izquierdo, pero la velocidad a la que se hace más pequeño disminuye lo suficientemente rápido como para que nunca se alcance. La solución que mostraré procede escribiendo el lado derecho como una suma y luego combinando los dos. Esta parece la forma más limpia de probarme esto.

Primero, puede escribir [math] \ frac {2} {k} [/ math] como una suma. La diferencia entre este valor durante dos “[math] k [/ math]” s consecutivas es [math] \ frac {2} {k + 1} – \ frac {2} {k} = – \ frac {2} { k ^ {2} + k} [/ matemáticas]. Entonces, podemos ser complicados y escribir [matemáticas] \ frac {2} {k} = \ sum_ {n = k} ^ {\ infty} \ frac {2} {n ^ {2} + n} [/ matemáticas] (si eso no es 100% claro, racionalícelo para sí mismo o solicite a wolfram alpha que lo sume por usted).

Ahora combinamos las dos sumas. Al mover [matemáticas] \ frac {2} {k} [/ matemáticas] a la izquierda en la desigualdad original, se convierte en

[matemáticas] – \ frac {2} {k} + \ sum_ {n = k} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ {2}} <0 [/ matemáticas]

o pegando la expresión para [matemáticas] 2 / k [/ matemáticas] como una suma (y combinándola en una suma, tenga en cuenta que los límites son los mismos),

[matemáticas] \ sum_ {n = k} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ {2}} – \ frac {2} {n ^ {2} + n} <0 [/ matemáticas]

la combinación de las fracciones en el sumando da [matemáticas] \ frac {1} {n ^ {2}} – \ frac {2} {n ^ {2} + n} = \ frac {- n ^ {2} + n} {n ^ {2} (n ^ {2} + n)} [/ matemáticas]. Para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] esto es cero, y para [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas] es negativo. Por lo tanto, no importa qué [matemática] k [/ matemática] sea, la expresión es una suma de un montón de números negativos (y posiblemente cero), ¡así que será negativo! ¡Así que ahí estás!

Answer 4

Sabemos [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas].
Entonces,
[matemáticas] \ sum_ {n = k} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} <\ frac {2} {k} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {\ pi ^ 2} {6} – \ sum_ {n = 1} ^ {k-1} \ frac {1} {n ^ 2} <\ frac {2} {k} [ /matemáticas]

El problema se ha reducido a una suma de términos finitos. No conozco ninguna solución de forma cerrada para esta suma finita.
Lo mejor sería escribir un programa para verificar esto para todos [math] k \ in \ mathbb {N} [/ math].

Answer 5

Hola !

Otras respuestas ya han abordado varios trucos. Aquí hay otro, menos algebraico y más cuantitativo.

Suma 1 / n ^ 2 de k a (2k -1): esto produce como máximo k / k ^ 2 = 1 / k

Suma 1 / n ^ 2 de 2k a (4k -1): esto produce como máximo (2k) / (2k) ^ 2 = 1 / (2k)

…

Suma 1 / n ^ 2 de 2 ^ pk a (2 ^ pk -1): esto produce como máximo (2 ^ pk) / (2 ^ pk) ^ 2 = 1 / ((2 ^ p) k)

…

Luego, suma con respecto a p todas esas desigualdades.