Por favor, no hagas esas fórmulas. Esto es tan importante que, aunque Awnon Bhowmik, Lukas Müller y Ryan Howe ya lo mencionaron explícitamente, debe reiterarse. Una cosa mala que sucedería después de introducir estas fórmulas es que se olvidarán después de cualquier evento que desencadene la idea de la introducción. Si toma un curso de matemáticas de nivel superior, como cálculo multivariable o ecuaciones diferenciales, o un curso de física, estadística, química o economía basado en cálculo, esa falta de conocimiento causará dificultades.
Para derivados, sugeriría hacer varios problemas de diferenciación desordenados que usan varias reglas, como [matemática] \ frac {d} {dx} \ left [\ sin \ left (x ^ 2 e ^ {1 + x ^ 4} \ right ) \ right] [/ math], para tener una idea de cómo interactúan las reglas entre sí. Para beneficiarse de esto, se sugiere hacer estos problemas una regla a la vez, y verificar su respuesta. Si tiene una calculadora gráfica, puede verificarla graficando la función y utilizando la función derivada (en un punto) de su calculadora, y ver si eso coincide con lo que obtiene al conectar ese punto en su calculadora. Al carecer de una calculadora gráfica, esto se puede simular usando una calculadora científica comparando [math] \ frac {f (x + h) – f (x)} {h} [/ math], para un valor de [math] h [ / math] como [math] 0.0001 [/ math], contra su derivada en ese valor de [math] x [/ math].
Otra cosa que puede hacer es volver a la definición del límite y ver si puede probar las reglas de diferenciación. Los importantes son los siguientes:
- La regla de la suma, [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [f (x) + g (x) \ right] = \ frac {d} {dx} \ left [f (x) \ right] + \ frac {d} {dx} \ left [g (x) \ right] [/ math]
- La regla de múltiplos constantes, [matemática] \ frac {d} {dx} \ left [cf (x) \ right] = c \ frac {d} {dx} \ left [f (x) \ right] [/ math ]
- La regla del producto, [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [f (x) g (x) \ right] = f (x) \ frac {d} {dx} \ left [g (x) \ derecha] + g (x) \ frac {d} {dx} \ izquierda [f (x) \ derecha] [/ matemáticas]
- La regla del cociente, [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [\ frac {f (x)} {g (x)} \ right] = \ frac {g (x) \ frac {d} {dx } \ left [f (x) \ right] – f (x) \ frac {d} {dx} \ left [g (x) \ right]} {\ left (g (x) \ right) ^ 2} [ /matemáticas]
- La regla de la cadena, [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [f (g (x)) \ right] = \ left (\ frac {d} {d \ left [g (x) \ right]} \ left [f (g (x)) \ right] \ right) \ left (\ frac {d} {dx} \ left [g (x) \ right] \ right) [/ math]
La regla de la cadena es la más difícil de probar, por lo que es posible que desee omitirla a menos que desee un gran desafío.
Estas reglas tienen más sentido si se ven en el contexto de una derivada que es un cambio en un cambio de función por unidad en [math] x [/ math]. La regla de la suma [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [f (x) + g (x) \ right] = \ frac {d} {dx} \ left [f (x) \ right] + \ frac {d} {dx} \ left [g (x) \ right] [/ math] y la regla múltiple constante [math] \ frac {d} {dx} \ left [cf (x) \ right] = c \ frac {d} {dx} \ left [f (x) \ right] [/ math] son lo que uno esperaría intuitivamente. La regla del producto, [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [f (x) g (x) \ right] = f (x) \ frac {d} {dx} \ left [g (x) \ right] + g (x) \ frac {d} {dx} \ left [f (x) \ right] [/ math] es un poco más complicado, pero uno podría pensar que agrega el cambio debido a [math] f (x) [/ math] cambiando (manteniendo [math] g (x) [/ math] constante) y agregando el cambio debido a [math] g (x) [/ math] cambiando (manteniendo [math] f (x ) [/ math] constante). La regla del cociente se puede obtener usando la regla del producto, la regla de potencia y la regla de la cadena: [matemáticas] \ frac {f (x)} {g (x)} = f (x) \ left (g (x) \ derecha) ^ {- 1} [/ math]. En cuanto a la regla de la cadena, si [math] f (g (x)) [/ math] crece [math] p [/ math] veces más rápido que [math] g (x) [/ math] y [math] g (x) [/ math] crece [math] q [/ math] veces más rápido que [math] x [/ math], luego [math] f (g (x)) [/ math] crece [math] pq [/ math] veces más rápido que [math] x [/ math].
También existen los “bloques de construcción” para los derivados, que debe saber:
- la regla de poder, [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [x ^ n \ right] = nx ^ {n-1} [/ math]
- derivados de funciones especiales:
- [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [e ^ x \ right] = e ^ x [/ math]
- [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [\ ln (x) \ right] = x ^ {- 1} [/ math]
- [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [\ sin (x) \ right] = \ cos (x) [/ math]
- [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ left [\ cos (x) \ right] = – \ sin (x) [/ math]
No incluí las otras funciones trigonométricas por una razón, porque se pueden expresar en términos de [matemáticas] \ sin (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos (x) [/ matemáticas]. También excluí intencionalmente las funciones trigonométricas inversas, porque es más fácil saber que uno puede usar la diferenciación implícita para obtenerlas. De hecho, la diferenciación implícita se puede usar para obtener la derivada de cualquier función inversa, comenzando con [math] x = f (y) [/ math].
Es posible que desee probar varios casos especiales de la regla de poder. En orden creciente de dificultad, serían: [matemáticas] n [/ matemáticas] es un número entero positivo; [math] n [/ math] es un entero negativo; [math] n [/ math] es un medio entero (como [math] \ frac {3} {2} [/ math]); [matemáticas] n [/ matemáticas] es un número racional. (Para irracional [matemática] n [/ matemática], lo más fácil es reescribir [matemática] x ^ n [/ matemática] como [matemática] e ^ {n \ ln (x)} [/ matemática]; esto mostrará que la regla de poder también funciona aquí).
Una vez que haya dominado las derivadas, algunas de las integrales se vuelven fáciles: [matemática] x ^ n [/ matemática] (incluido el caso especial [matemática] n = -1 [/ matemática]: ¿puede ver qué cosa mala sucedería si ¿probaste la regla general en ese caso?), [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas], [matemáticas] \ sin (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos (x) [/ matemáticas]. También es posible distribuir una integral sobre una suma y extraer un multiplicador constante de una integral.
Las otras integrales que es probable que encuentres son susceptibles a una combinación de técnicas, que es lo que debes tratar de entender, no las fórmulas:
- [matemática] u [/ matemática] -sustitución, que es esencialmente la regla de la cadena al revés. En realidad, es sencillo de implementar, siempre y cuando mantenga ese [math] dx [/ math] en su integral; le recuerda que debe convertirse en una función de [math] u [/ math] multiplicada por [math] du [/ math]
- integración por partes, que es esencialmente la regla del producto al revés; no es necesario memorizar qué función integrar y qué función diferenciar, porque, en caso de duda, puede intentarlo en ambos sentidos y ver de qué manera ayuda
- A veces, obtienes un múltiplo de la integral original, más algunas otras cosas: mira lo que sucede cuando ejecutas la integración por partes dos veces en [math] \ int e ^ x \ sin (x) dx [/ math].
sustitución trigonométrica, esencialmente un tipo de sustitución [matemática] u [/ matemática]; De nuevo, no hay necesidad de memorizar qué funciona para qué tipo de integral, porque siempre es lo que sea que arroje la expresión cuadrática en algo que puede usar una identidad trigonométrica para simplificar
descomposición de fracción parcial, que es cómo se pueden tratar los polinomios factorizables en el denominador
La clave para la mayoría de los problemas de integración es utilizar técnicas para simplificar un problema, incluso si solo una técnica no obtiene la respuesta. Es posible que desee resolver algunos problemas de técnicas múltiples (posiblemente de su libro de texto; generarlos en el acto es arriesgado, porque algunas integrales simplemente no se pueden hacer con las funciones habituales, pero también son más gratificantes, ya que tiene una idea de qué funciona y qué no) para ver qué significa esto.
Es cierto que hay integrales más complicadas, que no son fácilmente susceptibles a estas técnicas, pero memorizar fórmulas para ellas es inútil de todos modos.
El único escollo que se puede encontrar es [math] \ int \ sec (x) dx [/ math]; Si no lo ha visto antes, es difícil de resolver. (El truco especial es multiplicar el numerador y el denominador por [matemática] \ sec (x) + \ tan (x) [/ matemática], y sustituir [matemática] u = \ seg (x) + \ tan ( x) [/ matemáticas].)