¿Puede un gráfico tener un número infinito de vértices?

Si.

Un gráfico no es más que un modelo para representar una relación binaria en conjuntos. Dado un conjunto [matemática] S [/ matemática] y una relación binaria [matemática] R [/ matemática], representamos esto usando una gráfica [matemática] G [/ matemática] que tiene [matemática] | S | [/ matemática] vértices e introduzca una arista entre dos vértices si y solo si sus elementos correspondientes en [matemáticas] S [/ matemáticas] están relacionados en [matemáticas] R [/ matemáticas].

Una vez que comience a ver gráficos como los anteriores, la respuesta a su pregunta es obvia. No hemos impuesto ninguna restricción sobre la cardinalidad de [math] S [/ math]. Las relaciones binarias se definen para conjuntos de cualquier cardinalidad. Por lo tanto, un gráfico puede tener un número infinito de vértices.

EDITAR : Gracias a los comentarios de Quora User en su respuesta sobre la interpretación anterior, me siento obligado a justificar por qué los gráficos infinitos son objetos matemáticos interesantes. Sin embargo, mi tarea se hace más fácil porque esto se ha preguntado antes: aplicaciones de la teoría de grafos infinitos.

Seguro. A menudo, los autores dicen que gráfico significa un gráfico con muchos vértices. Muchos de los resultados y métodos de la teoría de grafos requieren gráficos finitos, hasta el punto en que la palabra “gráfico” significa “gráfico finito” la mayoría de las veces. Pero, en general, los vértices solo forman un conjunto.

La pregunta no es si se puede definir un concepto de gráfico infinito. La respuesta a esto es obviamente sí, y la perspectiva de “relación binaria” a esto indicada en otra respuesta realmente no ilumina esto. Si toma la definición de “gráfico finito” y omite la palabra “finito”, la definición resultante todavía tiene sentido, por lo que el concepto de gráfico infinito tiene sentido.

Sin embargo, las definiciones matemáticas a menudo son “más fuertes” de lo que es necesario para tener sentido. Esto se debe a que las definiciones más débiles satisfarán menos teoremas. La noción de gráfico infinito es a menudo demasiado débil para hacer una buena teoría de gráficos.

Un interesante problema abierto solicita el número cromático del gráfico de distancia unitaria en el plano real. Aquí los vértices son puntos arbitrarios en el plano real y dos vértices están unidos por un borde si están separados por una unidad.