Suponga que S es un conjunto de vectores n-linealmente independientes que abarcan el espacio vectorial n-dimensional V. ¿Puede probar que S es una base para V?

Answer 1

Una base para un subespacio [math] V \ subset \ mathbb {R} ^ n [/ math] puede caracterizarse por las siguientes tres definiciones equivalentes:

1. Es un conjunto máximo de vectores linealmente independientes en [math] V [/ math]; agregar otro vector al conjunto hace que ya no sea linealmente independiente
2. Es un conjunto mínimo de vectores en [matemática] V [/ matemática]; eliminar un vector del conjunto hace que ya no se extienda
3. Es un conjunto de vectores linealmente independientes que abarca [matemática] V [/ matemática]

La pregunta que ha formulado es si un conjunto [matemático] S [/ matemático] de [matemático] n [/ matemático] vectores linealmente independientes que abarcan un subespacio [matemático] V \ subconjunto \ matemático {R} ^ n [/ matemáticas] forma una base. Está claro que si considera que la Definición 3 anterior es solo la definición de una base, entonces claramente [math] S [/ math] es una base para [math] V [/ math].

Sin embargo, mostrar que las tres definiciones anteriores implican entre sí es un ejercicio estándar en cursos introductorios de álgebra lineal basados ​​en pruebas. Solo daré la prueba a continuación que 1 implica 2, ya que las otras pruebas son similares:

• Comience con un conjunto máximo de vectores linealmente independientes [math] \ vec {v} _1, \ vec {v} _2, \ dots \ vec {v} _k [/ math]
• Máximo significa que si agregamos algún múltiplo de cualquier vector arbitrario [math] \ vec {w} [/ math] a nuestro conjunto, el conjunto resultante ya no será linealmente independiente. Es decir, habrá algún conjunto de coeficientes [matemática] a_i [/ ​​matemática] (donde no todos [matemática] a_i = 0 [/ matemática]) para cada [matemática] v_i [/ ​​matemática] tal que [matemática] a_1 \ vec {v} _1 + a_2 \ vec {v} _2 + \ dots a_k \ vec {v} _k + b \ vec {w} = 0 [/ math]
• Sabemos que [math] b \ ne0 [/ math] ya que asumimos que [math] \ vec {v} _i [/ ​​math] son ​​linealmente independientes.
• Como [math] b \ ne0 [/ math], podemos expresar [math] \ vec {w} [/ math] como una combinación lineal de [math] \ vec {v} _i [/ ​​math]; es decir, [math] \ vec {w} = – \ frac {a_1} {b} \ vec {v} _1- \ dots- \ frac {a_k} {b} \ vec {v} _k [/ math]. Esto muestra el conjunto de [math] \ vec {v} _i [/ ​​math] que abarca el espacio [math] V. [/ Math]
• Todo lo que queda es mostrar que este es un conjunto de expansión mínima. Esto es simple, ya que eliminar [math] \ vec {v} _k [/ math] del conjunto haría que el conjunto ya no se extendiera. ¿Por qué? Sabemos que el conjunto de [math] \ vec {v} _i [/ ​​math] es linealmente independiente, por lo que [math] \ vec {v} _k [/ math] no puede expresarse como una combinación lineal de [math] \ vec { v} _1, \ puntos, \ vec {v} _ {k-1} [/ math]

CONCLUSIÓN : 1 implica 2

Answer 2

Suponga que [math] S = \ {v_1, v_2, \ ldots, v_n \} [/ math]. Tome cualquier vector distinto de cero [matemática] v \ en V [/ matemática]. Como [math] V [/ math] es de dimensión [math] n [/ math], los vectores [math] v, v_1, \ ldots, v_n [/ math] satisfacen una dependencia lineal

[matemáticas] \ alpha v + \ alpha_1 v_1 + \ cdots + \ alpha_nv_n = 0, [/ matemáticas]

donde no todos los coeficientes [math] \ alpha, \ alpha_1, \ ldots, \ alpha_n [/ math] son ​​0. De hecho, [math] \ alpha \ neq 0 [/ math] como [math] S [/ math] Es linealmente independiente. Por lo tanto, uno puede escribir

[matemáticas] v = – \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ alpha_1v_1 + \ alpha_2v_2 + \ cdots + \ alpha_nv_n \ right), [/ math]

lo que prueba que [math] S [/ math] es una base para [math] V [/ math].

Answer 3

Realmente no hay nada que demostrar. La definición de base es un conjunto de expansión linealmente independiente. Eso es lo que tienes, así que satisface la definición de base. Incluso el número [matemáticas] n [/ matemáticas] no entra en consideración.

Answer 4

Esa es la definición de base