[matemáticas] 12 \ 16 \ 24 \ 40… .. [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 \ 8 \ 12 …… [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 \ 4… .. [/ matemáticas]
Tomando diferencias sucesivas, vemos que las diferencias están de acuerdo en la segunda fila de diferencia. Por lo tanto, podemos asumir que nuestra forma general del término [math] n ^ {th} [/ math] es
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[matemáticas] s_n = an ^ 2 + bn + c [/ matemáticas]
Esta es una ecuación que tiene tres incógnitas, para resolverla necesitamos ecuaciones [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Podemos hacer ecuaciones [matemáticas] 3 [/ matemáticas] poniendo [matemáticas] n = 1,2,3 [/ matemáticas]
[matemáticas] s_1: a + b + c = 12 ……………. [i] [/ matemáticas]
[matemáticas] s_2: 4a + 2b + c = 16 …………. [ii] [/ matemáticas]
[matemáticas] s_3: 9a + 3b + c = 24 …………. [iii] [/ matemáticas]
Realizando las siguientes operaciones:
[matemáticas] [ii] – [i]: 3a + b = 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] [iii] – [ii]: 5a + b = 8 [/ matemáticas]
Resolviendo las nuevas ecuaciones simultáneamente …
[matemáticas] (5a + b) – (3a + b) = 8-4 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow 2a = 4 [/ matemática]
[matemática] \ Rightarrow a = 2 [/ matemática]
Sustituyendo el valor de a en [matemáticas] [ii] – [i] [/ matemáticas] (no importa que no etiquete las nuevas ecuaciones para hacer que las cosas parezcan más extrañas de lo que son is)
[matemáticas] 3 (2) + b = 4 [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow b = 4-6 = -2 [/ math]
Lo sabemos
[matemáticas] a + b + c = 12 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = 12-ab = 12-2 – (- 2) = 12-2 + 2 = 12 [/ matemáticas]
Entonces el término [math] n ^ {th} [/ math] viene dado por
[matemáticas] s_n = 2n ^ 2-2n + 12 [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} s_k [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} 2k ^ 2-2k + 12 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ veces \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} -2 \ veces \ dfrac {n (n + 1)} {2} + 12n [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {3} -n (n + 1) + 12n [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {3} \ izquierda [n (n + 1) (2n + 1) -3n (n + 1) + 36n \ derecha] [/ matemáticas]
[matemática] = \ dfrac {1} {3} \ izquierda [n (n + 1) [(2n + 1) -3] + 36n \ derecha] [/ matemática]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {3} \ izquierda [2n (n + 1) (n-1) + 36n \ derecha] [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {3} \ izquierda [2n [(n + 1) (n-1) +18] \ derecha] [/ matemáticas]
[math] = \ dfrac {2} {3} \ big [n (n ^ 2 + 17) \ big] [/ math]