Dados 3 puntos en el plano cartesiano, ¿cómo puedes encontrar las coordenadas del centro del círculo que intersecta los tres puntos, si existe tal círculo?

Answer 1

Como han dicho otras respuestas: necesita encontrar un punto (llamémoslo C) que sea equidistante de los tres puntos dados (llamémoslos X, Y y Z), y dicho punto existe si y solo si X , Y y Z no son colineales.

Sintéticamente, con la brújula y la regla, puede resolver el problema construyendo las bisectrices perpendiculares de XY e YZ, ya que una bisectriz perp consiste en todos los puntos que son equidistantes de los puntos finales del segmento bisecado.

Analíticamente, puede configurar ecuaciones que digan CX = CY = CZ, usando la fórmula de la distancia. Si las coordenadas de nuestros puntos son (c1, c2), (x1, x2), etc., esto se vería así:

(x1 – c1) ^ 2 + (x2 – c2) ^ 2 = (y1 – c1) ^ 2 + (y2 – c2) ^ 2
(y1 – c1) ^ 2 + (y2 – c2) ^ 2 = (z1 – c1) ^ 2 + (z2 – c2) ^ 2

Con los números reales en lugar de xs, ys y zs, puede resolver c1 y c2.

Answer 2

Dados 3 puntos en el plano cartesiano, ¿cómo puedes encontrar las coordenadas del centro del círculo que intersecta los tres puntos, si existe tal círculo?

Algunas veces la geometría coordinada es más complicada que la geometría sintética. Euclides diría que queremos el círculo del triángulo con los puntos como vértices. Luego construiría las bisectrices perpendiculares de los lados. Dos de ellos se cruzan en un punto a menos que los puntos originales estén en línea recta (en cuyo caso el triángulo se colapsa y no hay un círculo). Luego probaría que la tercera bisectriz se encuentra con las otras en el mismo punto.

La respuesta de David Joyce muestra que el enfoque de geometría coordinada no es tan fácil. Sin embargo, los puntos medios de los lados son fáciles en geometría de coordenadas: solo las coordenadas correspondientes promedio de los vértices.

Entonces, encontremos las ecuaciones de las bisectrices. Los puntos medios de las líneas que unen [matemática] (a_1, b_1) [/ matemática] a [matemática] (a_2, b_2) [/ matemática] y [matemática] (a_3, b_2) [/ matemática] a [matemática] (a_2, b_2) [/ math] son ​​[math] (\ frac12 (a_1 + a_2), \ frac12 (b_1 + b_2)) [/ math] y [math] (\ frac12 (a_3 + a_3), \ frac12 ( b_1 + b_2)) [/ math]. Las ecuaciones de las perpendiculares a través de estos puntos son [matemáticas] (a_2-a_1) (y- \ frac12 (b_1 + b_2)) = – (b_2-b_1) (x- \ frac12 (a_1 + a_2)) [/ matemáticas] y [math] (a_2-a_3) (y- \ frac12 (b_3 + b_2)) = – (b_2-b_3) (x- \ frac12 (a_3 + a_2)) [/ math]. Ahora resuelva estas dos ecuaciones para encontrar [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Para eliminar [matemáticas] y [/ matemáticas] multiplique la primera ecuación por [matemáticas] a_2-a_3 [/ matemáticas] y la segunda por [matemáticas] a_2-a_1 [/ matemáticas] y reste.

Esto es tedioso pero podemos simplificar un poco el trabajo. Podemos trasladar el triángulo para que el punto [matemática] (a_1, b_1) [/ matemática] esté en el origen y luego cambiar la notación para que las otras coordenadas ya estén transformadas. Luego podemos agregar [matemática] a_1 [/ matemática ] y [matemáticas] b_1 [/ matemáticas] después de resolver las ecuaciones.

[matemáticas] -a_2 (a_2-a_3) b_3 = 2 ((a_2-a_3) b_2-a_2 (b_2-b_3)) x – ((a_2-a_3) b_2a_2-a_2 (b_2-b_3) (a_3 + a_2)) [/matemáticas].

El coeficiente de [matemáticas] x [/ matemáticas] es [matemáticas] 2 (a_2b_3 – a_3b_2) [/ matemáticas].

El término constante es [matemáticas] ((a_2-a_3) b_2a_2-a_2 (b_2-b_3) (a_3 + a_2)) – a_2 (a_2-a_3) b_3 [/ matemáticas]. El término [matemática] b_3 [/ matemática] es ([matemática] a_2 (a_3 + a_2) – a_2 (a_2-a_3)) b_3 = 2a_2a_3b_3 [/ matemática] y por simetría, el término [matemática] b_2 [/ matemática] es [matemática] -2a_2a_3b_2 [/ matemática].

Por lo tanto, [math] x = \ frac {a_2a_3 (b_3-b_2)} {a_2b_3 – a_3b_2} [/ math].

Bueno, eso no fue tan malo. Sin embargo, tenemos que agregar [matemáticas] a_1 [/ matemáticas] a [matemáticas] a_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] a_3 [/ matemáticas], y agregar [matemáticas] b_1 [/ matemáticas] a [matemáticas] b_2 [/ matemáticas ] y [matemáticas] b_3 [/ matemáticas]. Luego puedes encontrar la coordenada y del centro intercambiando las coordenadas.

Entonces [matemáticas] x = \ frac {(a_1 + a_2) (a_3 + a_1) (b_3-b_2)} {(a_1 + a_2) (b_3 + b_1) – (a_3 + a_1) (b_1 + b_2)} [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] [matemáticas] = \ frac {(b_1 + b_2) (b_3 + b_1) (a_3-a_2)} {(b_1 + b_2) (a_3 + a_1) – (b_3 + b_1 ) (a_1 + a_2)} [/ math].

En realidad, los términos [math] a_1b_1 [/ math] se cancelan de los denominadores.

Si el denominador es cero, entonces el triángulo se ha derrumbado y el centro no existe.

Sí, esto parece ser más complicado que la solución de David Joyce (esperaba que fuera más simple) y sería mucho peor sin el truco que usé.

Answer 3

Suponga que las coordenadas de los tres puntos son [matemática] (a_1, a_2), [/ matemática] [matemática] (b_1, b_2), [/ matemática] y [matemática] (c_1, c_2). [/ Matemática]

Calcule los siguientes tres valores. Si el valor de [math] d [/ math] es 0, se encuentran en una línea, por lo que no hay círculo para tener un centro.

[matemáticas] d = (a_1-b_1) (b_2-c_2) – (b_1-c_1) (a_2-b_2) [/ matemáticas]

[matemáticas] u = \ frac {a_1 ^ 2-b_1 ^ 2 + a_2 ^ 2-b_2 ^ 2} 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] v = \ frac {b_1 ^ 2-c_1 ^ 2 + b_2 ^ 2-c_2 ^ 2} 2 [/ matemáticas]

Entonces el centro tiene coordenadas [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] donde

[matemáticas] x = \ frac {u (b_2-c_2) -v (a_2-b_2)} d [/ matemáticas]

[matemática] y = \ frac {v (a_1-b_1) -u (b_1-c_1)} d [/ matemática]

(No veo ningún error tipográfico. Avíseme si funciona).

Answer 4

No estoy seguro de por qué apareció este en mi feed. Me gusta la forma del profesor Joyce para la respuesta, así que pensé que la derivaría para completarla. No comparto su afición por los subíndices, así que etiquetaré los puntos [matemáticas] (a, b), (c, d) [/ matemáticas] y [matemáticas] (e, f). [/ Matemáticas]

Nuestras incógnitas son centro [matemáticas] (p, q) [/ matemáticas] y radio al cuadrado [matemáticas] k [/ matemáticas] para una ecuación de

[matemáticas] (xp) ^ 2 + (yq) ^ 2 = k [/ matemáticas]

Cada uno de nuestros puntos está en el círculo:

[matemáticas] (ap) ^ 2 + (bq) ^ 2 = k [/ matemáticas]

[matemáticas] (cp) ^ 2 + (dq) ^ 2 = k [/ matemáticas]

[matemáticas] (ep) ^ 2 + (fq) ^ 2 = k [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 – 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 – 2bq + q ^ 2 = k [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 2 + q ^ 2 + a ^ 2 + b ^ 2 = 2ap + 2bq + k [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 2 + q ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2cp + 2dq + k [/ matemáticas]

La resta por pares elimina los términos cuadráticos:

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2 – d ^ 2 = 2p (ac) + 2q (bd) [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 – e ^ 2 -f ^ 2 = 2p (ae) + 2q (bf) [/ matemáticas]

Sea [math] u = \ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2 – d ^ 2) [/ math] y [math] v = \ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – e ^ 2 -f ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] u = p (ac) + q (bd) [/ matemáticas]

[matemáticas] u (bf) = p (ac) (bf) + q (bd) (bf) [/ matemáticas]

[matemáticas] v = p (ae) + q (bf) [/ matemáticas]

[matemáticas] v (bd) = p (ae) (bd) + q (bf) (bd) [/ matemáticas]

[matemáticas] u (bf) – v (bd) = p ((ac) (bf) – (ae) (bd)) [/ matemáticas]

Sea [math] w = (ac) (bf) – (ae) (bd) [/ math]

[matemáticas] p = \ dfrac {u (bf) – v (bd)} {w} [/ matemáticas]

[matemáticas] u (ae) = p (ac) (ae) + q (bd) (ae) [/ matemáticas]

[matemáticas] v (ac) = p (ae) (ac) + q (bf) (ac) [/ matemáticas]

[matemáticas] u (ae) – v (ac) = q ((bd) (ae) – (bf) (ac)) = -qw [/ math]

[matemáticas] q = \ dfrac {v (ac) – u (ae)} {w} [/ matemáticas]

Encontramos el centro, pero necesitamos determinar [matemáticas] k. [/ Matemáticas]

[matemáticas] k = (ap) ^ 2 + (bq) ^ 2 [/ matemáticas]

---

El círculo que contiene los puntos [matemática] (a, b), (c, d) [/ matemática] y [matemática] (e, f) [/ matemática] se determina así:

[matemáticas] u = \ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2 – d ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] v = \ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – e ^ 2 -f ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] w = (ac) (bf) – (ae) (bd) [/ matemáticas]

[matemáticas] p = \ dfrac {u (bf) – v (bd)} {w} [/ matemáticas]

[matemáticas] q = \ dfrac {v (ac) – u (ae)} {w} [/ matemáticas]

[matemáticas] k = (ap) ^ 2 + (bq) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (xp) ^ 2 + (yq) ^ 2 = k [/ matemáticas]

Parece que coincide con la respuesta del profesor Joyce. Expandamos [matemáticas] p, q, k [/ matemáticas].

[matemáticas] \ left (x – \ dfrac {u (bf) – v (bd)} {w} \ right) ^ 2 + \ left (y- \ dfrac {v (ac) – u (ae)} {w } \ right) ^ 2 = \ left (a- \ dfrac {u (bf) – v (bd)} {w} \ right) ^ 2 + \ left (b- \ dfrac {v (ac) – u (ae )} {w} \ right) ^ 2 [/ math]

Expandamos [matemáticas] u, v, w. [/ Matemáticas]

[matemática] \ left (x- \ dfrac {\ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2 – d ^ 2) (bf) – \ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – e ^ 2 -f ^ 2) (bd)} {(ac) (bf) – (ae) (bd)} \ right) ^ 2 + \ left (y- \ dfrac {\ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – e ^ 2 -f ^ 2) (ac) – \ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2 – d ^ 2) (ae)} {(ac) (bf) – (ae ) (bd)} \ right) ^ 2 = \ left (a- \ dfrac {\ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2 – d ^ 2) (bf) – \ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – e ^ 2 -f ^ 2) (bd)} {(ac) (bf) – (ae) (bd)} \ right) ^ 2 + \ left (b- \ dfrac {\ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – e ^ 2 -f ^ 2) (ac) – \ frac 1 2 (a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2 – d ^ 2) (ae)} {( ac) (bf) – (ae) (bd)} \ right) ^ 2 [/ math]

Yikes

Answer 5

Una forma sería encontrar el punto de intersección de los sectores bi perpendiculares de cualquiera de los dos segmentos de línea que unen dos de los tres puntos dados.