Después de estudiar las áreas centrales de las matemáticas (análisis real y complejo, álgebra abstracta, geometría algebraica y diferencial y topología algebraica), ¿qué sigue?

Answer 1

Sigue tu nariz. ¿Cuál de los temas te gustó más? Encuentre libros más avanzados sobre esos temas y léalos. Por ejemplo, si le gusta la geometría algebraica, le recomiendo que eche un vistazo a algunos libros sobre geometría tórica. Si le gusta la topología, le recomiendo que eche un vistazo al libro de Bott-Tu y cualquier cosa de Milnor. Consulte el archivo e-Print de arXiv.org y los Avisos de AMS para obtener documentos introductorios sobre nuevas investigaciones. Si te interesa el análisis, lee el blog de Terry Tao. Si te gusta la física matemática, lee el blog de John Baez. Lee el blog de Tim Gowers. Vaya a seminarios y descubra en qué están trabajando otras personas. Averigua cuáles son los documentos fundamentales y léelos. Hable con otros estudiantes de posgrado, postdoctorados, profesores: hágales preguntas y trate de hacer que le den un buen material de lectura introductoria o problemas introductorios interesantes para pensar.

Answer 2

Un tema omitido en la mayoría de las áreas centrales, pero que es absolutamente esencial, es la lógica formal y la teoría de conjuntos. Esto es necesario para dar sentido a los argumentos transfinitos en el resto de las matemáticas, y solo puede omitirlo si no tiene problemas para marearse con alguien que dice “Ahora completamos este sistema Borel mediante una inducción transfinita al primer ordinal incontable” y sin saber exactamente qué significa esto en un modelo contable de teoría de conjuntos.

Para este propósito, “La teoría de conjuntos y la síntesis contigua” es esencial, junto con un libro de teoría de conjuntos y un libro como el libro de Lógica de Yu V. Manin. Esto es completamente esencial y completamente ignorado en el plan de estudios. Después de ordenar los fundamentos de la teoría de conjuntos, puede leer cualquier cosa, tiene una buena base.

Answer 3

No hay “siguiente”. Las matemáticas no son una progresión … o más exactamente, son muchas progresiones diferentes en muchas direcciones diferentes.

Como señaló Ron Maimon, ni siquiera mencionaste el núcleo de las matemáticas: temas como lógica, teoría de conjuntos, teoría de modelos, sistemas formales, etc. A partir de ahí, las matemáticas se desarrollan a las materias comúnmente estudiadas como teoría de números, análisis, álgebra, topología y geometría. Hay otros temas que se basan en ideas básicas en matemáticas pero que generalmente no se incluyen en un plan de estudios matemático central: me vienen a la mente los sistemas dinámicos, la teoría de juegos, la teoría de la información y la teoría de la computabilidad. Esos son temas más aplicados, pero todos pueden ser interesantes desde una perspectiva puramente matemática.

Alternativamente, podría detenerse en la lógica y establecer la teoría y hacer una carrera con ellos, o incluso dar la vuelta y profundizar en la filosofía de las matemáticas. ¿Qué es una prueba de todos modos? ¿Creamos matemáticas o existe independientemente y lo descubrimos?

Answer 4

Para cuando estudies todo eso, te habrás dado cuenta de que no existe el ‘próximo’. Solo hay ‘más profundo’. Hay otros campos distintos a los que mencionó, por supuesto, pero dado que cualquier campo de las matemáticas siempre estará “inacabado”, no hay una respuesta verdadera a su pregunta.

Answer 5

En ese momento, es en gran medida una cuestión de lo que le interesa. La mayoría de las personas que han superado toda esa lista son estudiantes de doctorado en matemáticas de segundo año y están buscando un área de investigación.