Mecánica sólida: ¿Cuáles son las diferencias entre las condiciones de tensión plana y tensión plana?

Answer 1

Las respuestas anteriores tienden a hablar sobre las diferencias entre las definiciones de tensión plana y las condiciones de tensión plana, quiero agregar algunas explicaciones adicionales basadas en las Ecuaciones básicas de la teoría de la elasticidad .
1. Ecuación de equilibrio (Navier):
[matemáticas] \ displaystyle \ sigma _ {ij, j} + f_i = 0 [/ matemáticas],
2. Fórmula de desplazamiento de deformación (Cauchy, para problema lineal):
[matemáticas] \ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ frac {1} {2} (u_ {i, j} + u_ {j, i}) [/ math],
3. Ecuación de compatibilidad de deformación (Saint-Venant):
[matemáticas] \ displaystyle \ varepsilon _ {ij, kl} + \ varepsilon _ {kl, ij} – \ varepsilon _ {ik, jl} – \ varepsilon _ {jl, ik} = 0 [/ math],
4. Relación constitutiva (para materiales isotrópicos):
Forma de tensión-tensión (Hooke):
[matemáticas] \ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ frac {1+ \ nu} {E} \ sigma _ {ij} – \ frac {\ nu} {E} \ sigma_ {kk} \ delta _ {ij} [/matemáticas],
Forma de tensión-estrés (cojo):
[matemáticas] \ displaystyle \ sigma _ {ij} = 2G \ varepsilon _ {ij} + \ lambda \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij} [/ math].
Combinando con la condición límite apropiada, este sistema de ecuaciones da la solución a cualquier problema en la teoría de la elasticidad.

En condiciones de tensión plana, generalmente suponemos que [math] \ frac {\ partial} {\ partial z} = 0 [/ math], [math] \ sigma _z = 0 [/ math]. Sustituyendo esta suposición básica en una relación constitutiva, sabemos que solo 3 componentes de tensión y 4 componentes de tensión son distintos de cero: [matemática] \ sigma _x [/ matemática], [matemática] \ tau_ {xy} [/ matemática], [matemática] \ sigma _y [/ matemática], [matemática] \ varepsilon_x [/ matemática], [matemática] \ gamma_ {xy} [/ matemática], [matemática] \ varepsilon _y [/ matemática], [matemática] \ varepsilon _z [/ matemática ] Mientras que en condiciones de deformación plana, nuestra suposición básica es [math] \ frac {\ partial} {\ partial z} = 0 [/ math], [math] \ varepsilon_z = 0 [/ math]. Sustituyéndolo en una relación constitutiva, sabemos que solo 3 componentes de tensión y 4 componentes de tensión son distintos de cero: [math] \ varepsilon_x [/ math], [math] \ gamma_ {xy} [/ math], [math] \ varepsilon _y [ / matemática], [matemática] \ sigma _x [/ matemática], [matemática] \ tau_ {xy} [/ matemática], [matemática] \ sigma _y [/ matemática], [matemática] \ sigma _z [/ matemática]. Tenga en cuenta que los componentes (ambos estresan y deforman) en el eje z pueden obtenerse fácilmente si conocemos los del plano xy, entonces tanto el problema de tensión plana como el problema de deformación plana pueden reducirse a considerar los componentes de tensión y deformación en el plano xy .

Por lo tanto, la ecuación de equilibrio se convierte en
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial \ sigma _x} {\ partial x} + \ frac {\ partial \ tau _ {xy}} {\ partial y} + f_x = 0 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial \ tau _ {xy}} {\ partial x} + \ frac {\ partial \ sigma _y} {\ partial y} + f_y = 0 [/ math],
La fórmula de desplazamiento de deformación se convierte en
[matemáticas] \ displaystyle \ varepsilon _x = \ frac {\ partial u} {\ partial x}, \ \ varepsilon _y = \ frac {\ partial v} {\ partial y} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ gamma _ {xy} = \ frac {\ partial u} {\ partial y} + \ frac {\ partial v} {\ partial x} [/ math],
La ecuación de compatibilidad de deformación se convierte en
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 \ varepsilon _x} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ varepsilon _y} {\ partial x ^ 2} – \ frac {\ partial ^ 2 \ gamma_ {xy}} {\ partial x \ partial y} = 0 [/ math].
Estas ecuaciones son adecuadas para ambos problemas de dos planos, sin embargo, la relación constitutiva no lo es. Para la condición de estrés plano, la relación constitutiva se convierte
[matemáticas] \ varepsilon _x = \ frac {1} {E} (\ sigma _x- \ nu \ sigma _y) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ varepsilon _y = \ frac {1} {E} (\ sigma _y- \ nu \ sigma _x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ gamma _ {xy} = \ frac {1} {G} \ tau _ {xy} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ sigma _x = \ frac {E} {1- \ nu ^ 2} (\ varepsilon _x + \ nu \ varepsilon _y) [/ math]
[matemáticas] \ sigma _y = \ frac {E} {1- \ nu ^ 2} (\ varepsilon _y + \ nu \ varepsilon _x) [/ math]
[matemáticas] \ tau _ {xy} = G \ gamma _ {xy} [/ matemáticas].
Para la condición de tensión plana, la relación constitutiva se convierte
[matemáticas] \ varepsilon _x = \ frac {1} {E ^ \ ast} (\ sigma _x- \ nu ^ \ ast \ sigma _y) [/ math]
[matemáticas] \ varepsilon _y = \ frac {1} {E ^ \ ast} (\ sigma _y- \ nu ^ \ ast \ sigma _x) [/ math]
[matemáticas] \ gamma _ {xy} = \ frac {1} {G} \ tau _ {xy} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ sigma _x = \ frac {E ^ \ ast} {1- \ nu ^ {\ ast2}} (\ varepsilon _x + \ nu ^ \ ast \ varepsilon _y) [/ math]
[matemáticas] \ sigma _y = \ frac {E ^ \ ast} {1- \ nu ^ {\ ast2}} (\ varepsilon _y + \ nu ^ \ ast \ varepsilon _x) [/ math]
[matemáticas] \ tau _ {xy} = G \ gamma _ {xy} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] \ E ^ \ ast = \ frac {E} {1- \ nu ^ 2} [/ matemáticas], [matemáticas] \ nu ^ \ ast = \ frac {\ nu} {1- \ nu} [ /matemáticas].

Por lo tanto, desde la perspectiva de considerar componentes en el plano xy, la única diferencia entre el problema de tensión plana y el problema de tensión plana es su relación constitutiva, que tiene la misma forma. Por supuesto, esta conclusión solo se ajusta al material isotrópico y la condición lineal. (¡Solo se requieren 2 constantes para describir la propiedad elástica del material isotrópico, pero para describir la del material anisotrópico, necesitamos 81 constantes! Si el problema es no lineal, por ejemplo, una gran deformación, se debe adoptar el tensor de tensión de Green, y eso será conducir a un término no lineal en la fórmula de desplazamiento de deformación).

Por fin, quiero enfatizar una cosa importante. Nuestras suposiciones básicas se hacen antes de resolver un problema. En realidad, nuestra solución se basa en los supuestos. Entonces, ¿cómo podemos saber que la solución satisface los supuestos antes de obtenerla? La respuesta es el teorema de la unicidad en Teoría de la elasticidad, pero es demasiado complicado y difícil de explicar. Con este teorema, podemos adivinar una solución, y si es correcta, ¡el problema está resuelto! Específicamente, si suponemos que un problema es de condición de tensión plana, entonces [math] \ sigma _z [/ math] debería ser 0 en el límite, lo que significa que los materiales no están restringidos a lo largo del eje z. Para la condición de deformación plana, el resultado es opuesto.

Referencias: 陆 明 万 (Mingwan Lu), 罗学富 Xuefu Luo), 弹性 理论 基础 (Fundamentos de la teoría de la elasticidad).

Answer 2

1. Tensión plana: considere un ejemplo en el que tiene una dimensión muy larga, digamos presa de gravedad como se muestra en la figura.

Ahora extraiga la longitud y dibuje por separado, divida la longitud en pequeños cubos 1 2 y 3 y sus caras son ab y c respectivamente.

Ahora, digamos que si la carga es verticalmente hacia arriba de modo que intente estirar la presa en dirección 1–1, entonces habrá contracción en 3–3.

Si ves que el cubo 1 intenta contraerse

al mismo tiempo, el cubo 2 y el cubo 3 quieren contraerse independientemente

eso significa que la cara b va hacia la derecha debido a la contracción de 1 y también al mismo tiempo hacia la izquierda debido a la contracción de 2

Eso significa que dos personas con la misma fuerza tratando de tirar de la cara b, eso significa que no se moverá en absoluto

y como la deformación cambia de longitud a longitud original, la deformación no se desarrollará y esta es su “CAE de deformación plana”

Tenga en cuenta que se evita la tensión, por lo que en este caso se produce estrés

2: Estrés plano: considere un ejemplo donde el grosor tiende a 0

Eso significa que, para entender, solo existe 1 cubo en la dirección del grosor que puede contraerse o expandirse

Así existe la cepa. PERO, hasta y a menos que se evite que ocurra la tensión, no existe estrés

Por lo tanto, es un caso de estrés plano donde existe tensión pero no estrés.

Answer 3

[Fuente]

Tratar cada configuración de estrés como 3-D requiere muchos recursos. La deformación plana y la tensión plana son dos configuraciones de tensión idealizadas en las que los sistemas tridimensionales se pueden aproximar razonablemente como configuraciones bidimensionales.

Estrés aereo:

[ Fuente ]

La condición de tensión plana puede visualizarse como una placa delgada con tensiones que actúan a lo largo de su plano. No hay tensión que actúe perpendicular al plano y los componentes [matemática] (\ parcial / \ parcial z) [/ matemática] en las ecuaciones son cero.

Deformación plana:

[ Fuente ]

La deformación simple se puede idealizar como cable largo con tensiones que actúan perpendicularmente a su longitud. Por lo tanto, la deformación o desplazamiento a lo largo de la longitud es cero. Nuevamente, los componentes [matemática] (\ parcial / \ parcial z) [/ matemática] en las ecuaciones son cero.

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Answer 4

En situaciones de la vida real, todo el estrés y la tensión asociados son tridimensionales. Muchas veces hacemos suposiciones adecuadas para la solución simplificada y el análisis del modelo matemático sin afectar la solución. En términos matemáticos, un estado de tensión plana en uno en el que la tensión a lo largo de la dirección z es CERO y una condición de deformación plana es aquella en la que la tensión asociada a lo largo de la dirección z es CERO. Para la comprensión física de la situación, consideremos dos placas, una gruesa y la otra delgada.
                En una placa gruesa (en comparación con una placa delgada) sometida a tensiones a lo largo de la dirección x e y, las deformaciones se asocian en la dirección x e y junto con la deformación en la dirección z (a lo largo del grosor), aunque pequeñas, sujetas a la contracción de Poisson. Si consideramos un elemento diferencial en el interior, este elemento resistirá la deformación en la dirección del espesor a medida que haya más material presente en la dirección del espesor en comparación con la placa delgada. así que aquí podemos suponer que la deformación a lo largo de la dirección z es cero y esta suposición funciona excelente en esta situación. Por lo tanto, se supone que las placas gruesas son condiciones de deformación plana.
               En placas delgadas sujetas a un estado de tensión biaxial, se supone una condición de tensión plana ya que ninguna tensión está actuando en la dirección z. Sin embargo, sujeto a la tensión biaxial, la contracción de Poissons estará allí, pero la tensión en la dirección z no puede ser sostenida.

Answer 5

Shaoheng ha dado una respuesta muy directa.

Sumario rápido:

1. en la deformación plana, se supone que un componente de deformación (típicamente el componente z) es cero
2. en tensión plana, se supone que un componente de tensión (típicamente el componente z) es cero
3. se supone que no hay cizalladura en la dirección fuera del plano (típicamente z)

Una observación menor, mientras que la deformación de Green es útil para deformaciones grandes pero deformación pequeña, si se va a deformaciones grandes y deformaciones grandes, entonces se debe usar la deformación Hencky o logarítmica.

Answer 6

La tensión está relacionada con una fuerza aplicada a una superficie, que puede ser de corte o tensión dependiendo del ángulo entre la fuerza y ​​el área.

La deformación es la deformación del plano de la materia, ambos parámetros podrían estar relacionados con la geometría y las propiedades de la materia (algunos medidores de deformación intentan medir el estrés a través de la deformación producida por él en condiciones controladas).

Answer 7

La diferencia principal entre la tensión plana y la tensión plana es que la tensión plana tal como se modela matemáticamente es físicamente imposible, mientras que la tensión plana es físicamente posible. En el problema de tensión plana, la variación de tensión a través del grosor se descuida. Esto es evidente en el supuesto de que la función de tensión de Airy es bidimensional. La función de tensión de Airy real es tridimensional en el caso de tensión plana. La solución de un problema de tensión plana coincide con los valores reales para el espesor de desaparición de los componentes.

Entonces, básicamente, la tensión plana es una aproximación matemática, las condiciones de deformación plana realmente existen en los componentes.

Answer 8

El estrés se define como la fuerza por unidad de área. Tiene las mismas unidades que la presión, y de hecho la presión es una variedad especial de estrés. Sin embargo, el estrés es una cantidad mucho más compleja que la presión porque varía tanto con la dirección como con la superficie sobre la que actúa.

La deformación se define como la cantidad de deformación que experimenta un objeto en comparación con su tamaño y forma originales. Por ejemplo, si un bloque de 10 cm de lado está deformado para que tenga 9 cm de largo, la deformación es (10-9) / 10 o 0.1 (a veces expresada en porcentaje, en este caso 10 por ciento). Tenga en cuenta que la deformación es sin dimensiones.

Answer 9

Para un sistema 3D, en condiciones de tensión plana, la tensión en la dirección z es cero. Del mismo modo, en condiciones de deformación plana, la deformación en la dirección z es cero.

Answer 10

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Answer 11

En un material elástico homogéneo, se supone que el esfuerzo es proporcional a la tensión y las secciones planas permanecen planas mientras sufren deformaciones elásticas.