¿Cuál es la “intuición” detrás de la creación del cálculo, es decir, cuál es la mejor manera de explicar a los estudiantes de secundaria por qué el cálculo es tan útil o valioso?

Answer 1

Las principales preocupaciones que el cálculo intenta abordar son cómo lidiar con instantáneas cambio, y cambios infinitesimales .

Antes de que se inventara el cálculo, solo podíamos calcular promedios o aproximaciones, pero nunca podíamos saber qué estaba sucediendo en el instante exacto. Imagine que está en un viaje por carretera, manejando 600 millas, y diga que le toma 10 horas cubrir eso. Entonces, su velocidad promedio durante este viaje fue de 60 millas / hora. Pero eso no significa que en cada instante su velocímetro dijera 60 mph. A veces podrías haber ido más rápido, podrías haber hecho paradas. La velocidad promedio no le brinda esta información, pero con el cálculo puede hacerlo.

Por supuesto, esa no fue la motivación inicial para Newton. No había muchos autos o viajes por carretera durante su tiempo. Pero había mucha curiosidad en ese momento, tratando de entender el movimiento de los objetos, como los planetas o las manzanas.

Disculpe el cliché, pero digamos que una manzana cae de un árbol que tiene 5 m de altura y tarda 1 segundo en caer. Luego, otra manzana cae de un árbol que tiene 20 m de altura, y esa manzana tardó 2 segundos en caerse del árbol. Y luego ves otro árbol mucho más grande, de 45 metros de altura. Y una manzana cae desde allí y toma 3 segundos.
Todas las manzanas comenzaron a velocidad cero, pero me golpearon más y más fuerte, cuanto más lejos cayeron. Eso debe significar que sus velocidades son diferentes cuando llegan al suelo.

Antes del cálculo, todo lo que se podría decir es que la velocidad promedio de la manzana era de 5 m / s, 10 m / sy 15 m / s, respectivamente. ¡Pero no se podía decir específicamente qué tan rápido viajaba la manzana cuando me golpeó la cabeza!

Pero el cálculo nos permite hacer eso.

Comenzamos con la idea de que estos cuerpos que caen están acelerando a una velocidad “aleatoria”, digamos [math] g [/ math]. Entonces, la ecuación que tenemos es [matemática] a = -g [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemática] es la aceleración, y obtenemos el signo menos porque está acelerando hacia abajo

Sin cálculo no puedes manejar la aceleración demasiado bien. ¡Pero el cálculo te permite integrarte! Y sabemos que la integral de la aceleración con respecto al tiempo nos da la velocidad instantánea .

Entonces ahora tenemos:

[matemática] v = \ int a dt = \ int -g dt = -gt + v_0 [/ matemática], donde [matemática] v_0 [/ matemática] es la velocidad inicial del objeto

¡Increíble! ¡Así que ahora tenemos una manera de calcular la velocidad en función del tiempo! Esto nos permite saber qué tan rápido va en cada instante.

Aún mejor, si nos integramos una vez más, podemos obtener la posición del objeto nuevamente, en cada instante:

[matemáticas] x = \ frac {-gt ^ 2} {2} + v_ {0} t + x_ 0 [/ matemáticas]

Esta es una ecuación muy importante, porque con un solo temporizador, podemos saber exactamente dónde estará el objeto una vez que comience a caer.

Veamos otro ejemplo.

Comenzamos con velocidad cero, así que usemos el ejemplo del árbol de 45 m de altura, podemos resolver el tiempo en función de la posición:

[matemáticas] t = \ sqrt {\ frac {2} {g} (45 – x)} [/ matemáticas]

Y volviendo a conectar esto a la ecuación de velocidad, ¡podemos saber qué tan rápido se moverá el objeto dependiendo de su altura! ¡Ahora todo lo que necesitamos es una regla, y podemos saber qué tan rápido se mueve el objeto!

[matemáticas] v = -g \ sqrt {\ frac {2} {g} (45 – x)} = – \ sqrt {2g (45 – x)} [/ matemáticas], con un signo menos porque apunta hacia abajo

Entonces, sin ningún experimento, puedo calcular qué tan rápido me golpeará esta manzana en la cabeza, si tengo 2 m de altura.

[matemáticas] v (x = 2) = \ sqrt {2g (45 – 2)} = \ sqrt {2g (43)} \ aprox 29 \ frac {m} {s} [/ matemáticas] o aproximadamente 60 millas por hora !

Me mantendré alejado de los árboles altos a partir de ahora.

Por supuesto, el cálculo no solo se usa para calcular la velocidad de caída de manzanas. También debe mencionar las otras aplicaciones que Newton desarrolló, como calcular el movimiento exacto de los planetas en función del tiempo, comprender el movimiento de los cuerpos interestelares, calcular la fuerza requerida para mover cosas, el trabajo realizado al levantar un objeto del suelo y todas las demás preguntas de física.

Pero también puede conectarse con las aplicaciones que tiene el cálculo en las cosas actuales del mundo real. Menciono algunos en mi respuesta anterior a ¿Cuáles son algunas aplicaciones geniales y reales del cálculo?

¡Espero que esto ayude a su clase a interesarse más en el cálculo!

Answer 2

Quizás el teorema más importante en el cálculo es el Teorema fundamental del cálculo.

Nicole Oresme (ca. 1323-1382) estaba estudiando el tema candente del cambio de cantidades cuyas tasas de cambio no eran constantes. Bradwardine, Heytesbury, Swinesshead y Dumbleton lo desarrollaron a principios de siglo en el Merton College de Oxford. Oresme descubrió una conexión entre el cambio total de esa cantidad en un intervalo y las tasas de cambio durante ese intervalo.

Representó el intervalo como una línea AB , a la que llamó longitud. En cada punto E en la línea, él representaba la tasa de cambio en E por un segmento de línea vertical EF, al que llamó latitud.

Estas latitudes juntas formaron una región plana ABDC, que él llamó una forma, limitada en la parte inferior por la longitud original AB, a la izquierda por la latitud inicial AC que representa la velocidad inicial, a la derecha por la latitud final BD que representa la velocidad final , y en la parte superior por la curva CFD que llamó la curva de la cumbre. Luego argumentó que el área de esa forma ABDC es el cambio total en la cantidad.

Ese es el teorema fundamental del cálculo.

Todo esto fue antes del álgebra simbólica, antes de la geometría coordinada, antes de los símbolos para el cálculo. El teorema fundamental del cálculo nos resulta más familiar cuando está escrito en la notación de Leibniz.

[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ bf ‘(x) \, dx = f (b) -f (a) [/ math]

¿Cuál fue el argumento de Oresme para que el área de la forma sea el cambio total? Dividió el intervalo en pequeños subintervalos para que la forma fuera aproximadamente la unión de los rectángulos en los que cada rectángulo era aproximadamente el cambio sobre ese rectángulo. Es el mismo argumento utilizado por otros desde él.

Answer 3

Esto es más un complemento de la respuesta del usuario de Quora. Otra intuición detrás del cálculo es que dada una curva, si nos acercamos infinitamente, veremos una línea recta después de un aumento. Por lo tanto, después de ese punto, la tasa de cambio promedio se puede aproximar por la pendiente de la línea. Como la pendiente no cambia sobre la línea y la región alrededor de cualquier punto de la línea es infinitamente pequeña, esto formaliza la noción del promedio en cualquier punto.

Editar: suponiendo que la curva es diferenciable en todas partes.

Answer 4

El cálculo analiza un problema de dos maneras:
1. ¿Cómo divido las cosas? (diferenciales)
2. ¿Cómo los vuelvo a armar? (Integración)
Por ejemplo, supongamos que entré en una habitación con moneda estadounidense dispersa por todas partes. Quiero contar el valor del dinero. Puedo comenzar en una esquina barriendo el área contando billetes cuando los encontré, o puedo contar todos los 100, luego los 50, luego los 20 y así sucesivamente.
Esto ilustra diferentes “modos de convergencia”, que es el corazón del cálculo. Cuando cambiamos de un problema discreto a uno continuo, entonces la cosa se vuelve no intuitiva. Aquí nos basamos en la precaución arbitraria: podemos dividir el problema en partes lo suficientemente pequeñas, pero no del todo de longitud cero, y sumarlas para obtener nuestra respuesta integrada dentro de una cierta tolerancia. Hay muchas condiciones que deben cumplirse para que esto funcione.
No siempre es cierto que “la integración es lo opuesto a la diferenciación”. Digamos que tenía una función con dominio (0,1) que es 1 para números irracionales, y 0 en caso contrario. Claramente no es diferenciable, pero su área es 1 (encontrada por integración).
El libro “enfoque radical para el análisis real” tiene una buena visión de la intuición subyacente del cálculo, al igual que el “enfoque radical para la teoría de Levesque”

Answer 5

Me gusta usar la relación de aceleración con velocidad como motivación para aprender cálculo.

Me gusta comenzar dibujando un gráfico con tiempo vs. distancia y dibujar una línea. Luego les pregunto a los estudiantes, “¿qué tan rápido se mueve este objeto?” Por lo general, puede hacer que se den cuenta de que la pendiente = velocidad cuando grafica el tiempo y la distancia.

Luego grafo el tiempo frente a la distancia con una curva parabólica (la aceleración constante crea un crecimiento cuadrático de la distancia, aunque no tienes que decirles este día uno) y hago la pregunta nuevamente. Esperemos que llegue a la respuesta “depende”. A lo que respondes “¿depende de qué?”

Una vez que haya descubierto que depende del tiempo (o “dónde se encuentra en el gráfico”) puede comenzar a obtener estimaciones aproximadas. Aquí es donde presentamos la definición de un derivado y cómo nos da respuestas exactas a preguntas como esta. Podemos obtener la velocidad exacta en cualquier momento en la curva.