¿Cuál es la raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] en un sistema de números cuaterniónicos?

Answer 1

Hay infinitas raíces cuadradas de [matemática] -1 [/ matemática] en los cuaterniones [matemática] \ mathbf H [/ matemática], y se encuentran en una esfera unitaria.

Un cuaternión tiene la forma [matemática] t + xi + yj + zk [/ matemática] donde [matemática] t, x, y, [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] son ​​números reales y [matemática ] i, j, [/ math] y [math] k [/ math] son ​​símbolos que satisfacen las siguientes ecuaciones

[matemáticas] \ quad i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1, ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j [/ matemáticas] .

El cuadrado de [matemáticas] t + xi + yj + zk [/ matemáticas] es igual a

[matemáticas] \ quad t ^ 2-x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2 + 2txi + 2tyj + 2tzk [/ matemáticas].

Para que sea igual a [matemática] -1 [/ matemática] es necesario que estas cuatro ecuaciones contengan:

[matemática] \ quad t ^ 2-x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2 = -1, 2tx = 0,2ty = 0,2tz = 0 [/ matemática].

Para que esas ecuaciones se mantengan, [matemática] t [/ matemática] debe ser [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 [/ matemática].

Entonces, las raíces cuadradas de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] en los cuaterniones tienen la forma [matemáticas] xi + yj + zk [/ matemáticas] donde [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 [/matemáticas]. Por lo tanto, son los puntos en la esfera de la unidad [matemática] S ^ 2 = \ {(x, y, z) \, | \, x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 \} [/ matemática] .

Tenga en cuenta que seis de estos puntos en la esfera de la unidad, los que están en la intersección de la esfera y uno de los tres ejes, corresponden a los cuaterniones [matemática] \ pm i, \ pm j, [/ matemática] y [matemática] \ pm k [/ matemáticas].

Answer 2

Puede formar una raíz cuadrada de [math] -1 [/ math] con cualquier combinación de unidades de longitud de los elementos básicos i , j , k . El conjunto de todas estas combinaciones forma una esfera de 2 unidades de cuaterniones de unidades especiales en el espacio de cuatro dimensiones [math] \ mathbb H [/ math].

Elija dicha unidad u [matemática] = u_ {0} [/ matemática] i [matemática] + u_ {1} [/ matemática] j [matemática] + u_ {2} [/ matemática] k , con valor real [ matemática] u_i [/ ​​matemática] st [matemática] u_ {0} ^ 2 + u_ {1} ^ 2 + u_ {2} ^ 2 = 1 [/ matemática]. Luego, con u fijo, el conjunto bidimensional de cuaterniones [matemáticas] a + b [/ matemáticas] u , con valores reales [matemáticas] a, b [/ matemáticas], es solo una copia del plano complejo habitual [matemáticas ] \ mathbb C [/ math].

Answer 3

Las raíces cuadradas distintas de cero siempre vienen en pares. Con menos unidad, esos son [math] \ pm i [/ math]. Nosotros, ahora, podríamos tener que dejar atrás [matemáticas] z ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas] y avanzar hacia [matemáticas] q ^ 4 + 1 = 0 [/ matemáticas], tal vez. La solución es la cuarta raíz de la unidad negativa, de hecho. La necesidad de Quaternions es cuestionable, por decir lo menos.

Los cuaterniones son números aún menores que los números complejos, que de todos modos no se comparan con los números reales.

El aprendizaje de [math] \ sqrt {-1} [/ math] que define toda una variedad incontable de soluciones cuaterniónicas [math] q \ in \ mathcal {H} [/ math], aparentemente, lleva a investigar esto más a fondo.

Afortunadamente, los reales donde primero obtener el [math] \ R [/ math], los racionales que tienen que recurrir al latín para asegurar su contrato de arrendamiento en [math] \ Q [/ math], Quaternions, para silenciar a Hamilton, obtuvieron el [math ] \ mathcal {H} [/ math].

Bueno, estoy de vuelta con nuevas ideas interesantes sobre la unidad hipercompleja -esfera. Parece que deberíamos abandonar los cuaterniones 1, i, j, k de los algebraicos y buscar pares de números complejos, ahora. [matemática] \ C ^ 2 \ cong \ mathcal H \ supset S ^ 3 (\ rho, \ theta, \ phi): = (cos \ rho (cos \ phi + i sin \ phi), sin \ rho (cos \ theta + i sin \ theta)) [/ math]

Con esto podemos estar atentos a las infinitas raíces de la unidad negativa, que se ocultan en esta variedad hipercompleja. El siguiente paso sería reiterar sobre las raíces de la unidad.