¡Esa es una pregunta increíble! Es una pregunta muy profunda (geometría riemanniana profunda). Tenga paciencia conmigo, intentaré usar dos ejemplos poco comunes para darle un giro a la cabeza.
Primero, si estás parado en el ecuador y te pidieron que caminaras al este 1000 km, luego ve al norte 1000 km. Comienzo desde el mismo lugar, y primero camino al norte 1000 km, luego al este 1000 km. ¿Estaremos en el mismo lugar al final? La respuesta es no. Bueno, puedes decir que los 1000 km al este y al norte no son realmente vectores. Y no, no están en el sentido tradicional. Así que aquí están nuestras elecciones. Podemos decir que no son vectores, por lo que no siguen las reglas conmutativas (abelianas) en un espacio vectorial tradicional. O bien, podemos inventar una interpretación de que son algún tipo de “vectores”, pero que no residen en el espacio tradicional. Es un espacio reimaniano, un espacio curvo. (Los dos segmentos de “líneas rectas” que caminó, y los dos que caminé, no forman un cuadrado. No hay paralelogramo en este espacio curvo. La suma de vectores a menudo se explica por el método de paralelogramo en geometría).
Segundo ejemplo: en física, nos encanta pensar en cualquier cosa como escalares, vectores, etc. ¿Puede la rotación (desplazamiento angular) ser un vector? De alguna manera … Digamos que tienes un libro sobre la mesa. Lo giras alrededor del eje Este 90 grados. Nos encantaría pensar que esta rotación es un “vector” que apunta hacia el este, con magnitud pi / 4 (use radianes). De alguna manera funciona. Este “vector” suma, resta, con cualquier otro vector en esta dirección este muy bien. Ahora, después del giro East-pi / 4, luego haga un giro north-pi / 4. (Sea coherente, use lo que llamamos la regla de la mano derecha para determinar la dirección de giro, que es en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario a las agujas del reloj). Vea qué orientación tendrá el libro. Ahora reiniciar. Desde el principio, primero gire north-pi / 4, luego este-pi / 4. NOOOO No es lo mismo. ¡Estos “vectores” no obedecen la regla de conmutación! (Espero que usted, o quien sea que esté leyendo esto, algún día continúe y profundice … Cada rotación en el espacio tridimensional puede representarse con un “vector” de longitud entre -pi y + pi. Esto es muy interesante ” espacio “se llama SO (3), el Grupo rotacional ortogonal especial en 3-dim …)
De hecho, el desplazamiento angular NO es un vector, aunque su velocidad de cambio, velocidad angular, es un vector. Así es la aceleración angular. Simplemente no desplazamiento angular.
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No estoy tratando de probar o refutar nada aquí. La propiedad conmutativa que solicitó es un axioma básico en espacios vectoriales / álgebra lineal. Siempre depende de ti hacer y aceptar lo que te dijeron. O no.